(۴٫۲۶)
که:
برای بررسی پایداری تابع لیاپانوف زیر را در نظر می‌گیریم [۴۳]:

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

تا هنگامی که ماتریس وزنی W ثابت باشد  پس با جایگزاری به جای  و باتوجه به خاصیت تقارن مورب می‌توان گفت:

حال  را از رابطه‌ی (۴٫۲۶) جایگزین می‌کنیم:

قانون تطبیقی به صورت زیر را اعمال می‌کنیم [۴۹].

که نتیجه به صورت زیر خواهد بود:

که
و  فرض می‌شود که  و  مقداری مثبت و مشخص است. پس:

بنابراین می‌توان با اختیار کردن مقدار مناسب برای  به  رسید. مگر اینکه احتمالا در همسایگی  . پس سیستم به بیان لیاپانوف پایدار است. و در همسایگی  ناحیه‌ای است که به‌وسیله  که  تعریف می‌شود.

شبیه­سازی و نتایج

در ادامه برای مقایسۀ مناسب بین کنترل کنندۀ پیشنهادی فازی نوع ۲ و نوع ۱، در مواجهۀ با عدم قطعیت­های پارامتری و مدل­سازی، دو مرحله شبیه­سازی انجام گرفته است و در هر مرحله دینامیک سیستم از قبل ناشناخته فرض شده است. مواردی که در این آزمایشات مورد بررسی قرار گرفته­اند عبارتند از، خطای مکان و سرعت بازو، پایداری داخلی مفصل و گشتاور خروجی کنترل کننده. ورودی سیستم کنترل یا همان سیگنال مرجع، که مکان وسرعت بار می­باشد، به صورت پاسخ پلۀ یک سیستم مرتبۀ ۲ میرای بحرانی، با فرکانس طبیعی ۳rad/s در نظر گرفته شده است، شکل (۴٫۲۱).
در اولین شبیه­سازی تحمل سیستم در مقابل مقادیر مختلف عدم قطعیت بار سنجیده می­ شود. برای این منظور در ثانیۀ پنجم اینرسی بار و جرم بازوها دو برابر شده و در ثانیۀ ۱۵ به مقادیر اولیه برگردانده شده است. نتایج در شکل (۴٫۲۲) آمده است. بر اثر این تغییر افزایش کمی در خطای مکان و سرعت دیده می­ شود. به هر حال سیگنال­های خطا و خروجی کنترل کننده فازی نوع ۱ دارای نوسانات بیشتری نسبت به نوع ۲ است که به مراتب خروجی صاف­تری دارد. همانطور که در قسمت (e) از شکل (۴٫۲۲) قابل مشاهده است، با کاهش در سرعت بار در کنترل کنندۀ نوع ۱ پایداری داخلی محرک نیز دچار افت شده است. در مقایسه می­توان گفت که عملکرد فازی نوع ۲ در مواجهه با این نوع عدم قطعیت بهتر و سریعتر بوده و نتایج نیز مؤید این مطلب هستند.
در دومین شبیه­سازی ضریب الاستیسیتۀ (سختی) بازو (k) در لحظۀ t=5s به طور ناگهانی به مقدار ۵N.m/rad کاهش یافته و در t=15s به مقدار اولیه یعنی k=7N.m/rad بازمی­گردد. نتایج این شبیه­سازی در شکل (۴٫۲۳) آمده است. همانند قبل کنترل کنندۀ فازی نوع ۱ در کنترل سیگنال­های خطای محدود اعمال شده موفق است، اما در اینکه پاسخ­ها را با شیب یکنواخت و نرم به مقادیر مناسب برگرداند چندان توفیق نداشته است. این موضوع با بررسی نمودارهای خطای موقعیت بار و سرعت و پایداری داخلی موتور که در قسمت­ های مختلف شکل (۴٫۲۳) آمده است. به عبارت دیگر، این موضوع واضح است که کنترل کنندۀ تطبیقی فازی نوع ۲، در کل رفتار کنترلی مناسب­تری نسبت به نوع ۱ دارد و این موضوع با مقایسۀ نمودارها مشهود است.
شکل ‏۴٫۲۱- سیگنال­های مرجع مکان و سرعت بازوها

شکل ‏۴٫۲۲- پاسخ­های سیستم کنترل تطبیقی فازی نوع ۱ و نوع ۲ با وجود تغییر در جرم بازو و اینرسی بار: (a, b) خطای مکان؛ (c, d) خطای سرعت؛ (e, f) سرعت موتور و بازو؛ (g, h) گشتاور کنترل کننده.

شکل ‏۴٫۲۳- پاسخ­های سیستم کنترل تطبیقی فازی نوع ۱ و نوع ۲ با وجود تغییر در ضریب سختی: (a, b) خطای مکان؛ (c, d) خطای سرعت؛ (e, f) سرعت موتور و بازو؛ (g, h) گشتاور کنترل کننده.

نتیجه ­گیری

کنترل تطبیقی برای بازوی رباتیک صلب، قدم اول در طراحی کنترل کنندۀ تطبیقی مقاوم برای بازوی منعطف است. این موضوع بر اساس تئوری اغتشاش منفرد و با فرض سختی بالای بازو بنا نهاده شد. همچنین تاثیر اصطکاک و تداخل بر عملکرد و پایداری سیستم مورد بررسی قرار گرفت. فرض سخت بودن بالای بازو این امکان را فراهم کرد تا مدل کنترلی پیش­خور برای سیستم صلب، تقریب خوبی برای مدل معکوس سیستم منعطف باشد. به عبارت دیگر، از جبران­سازهای تطبیقی اصطکاک و تداخل برای کاهش خطاهای باقی­مانده از مراحل پیشین استفاده شد. به طوری که از این روش در بسیاری سیستم­های کنترلی برای بازوی صلب می­توان به راحتی استفاده کرد. همچنین از یک تعامل خوب بین فاکتورها و خروجی سیستم برای بهبود پایداری داخلی استفاده شد. نتایج شبیه­سازی، موفقیت کار را در از بین بردن اثرات اصطکاک غیرخطی، تداخل و انعطاف نشان می­ دهند. یکی از مشکلات مهم این سیستم­ها، ردگیری مقادیر مرجع و حرکات بار و پایداری داخلی بود که در اینجا بر این مسائل راه حل مناسبی ارائه شد. همانطور که در شبیه­سازی پایداری سیستم کنترلی مشهود بود، به روش لیاپانوف این موضوع به اثبات رسید.
در این پایان نامه به منظور غلبه بر مشکلات مدل­سازی و همچنین عدم قطعیت­های پارامتری با اندازه و دامنه­های متغیر، کنترل کننده­ های فازی نوع ۲ و تطبیقی فازی نوع ۲ پیشهناد شد، که در آزمایشات نیز با مشابه نوع ۱ مورد قیاس قرار گرفت. البته کنترل کننده­ های فازی نوع ۲ به طور معمول دارای پیجیدگی­هایی هستند، اما در اینجا چون یکی از اهداف طراحی مناسب در عین سادگی است، این موضوع با به کار گیری توابع عضویت فاصله­ای^[۴۵] مرتفع شد. با مقایسه­ ای که بین این کنترل کننده­ها و مشابه فازی نوع ۱ در شرایط عملیاتی یکسان صورت گرفت، برتری و مزیت نوع ۲ در کاهش نواسانات حرکتی بازوها و در خنثی کردن اثرات عدم قطعیت­های با دامنۀ بالا، به خوبی مشاهده شد. این کار علاوه بر اینکه نتایج خوبی را توانست که در طراحی کنترل کننده برای بازوی رباتیک داشت و نیز رجحان فازی نوع ۲ را بر نوع ۱ نشان داد، یکی از معدود کارهایی است که از کنترل کنندۀ فازی نوع ۲ برای بازوهای رباتیک منعطف استفاده کرد و نتایج خوبی نیز داشته است.
بازوهای رباتیک تنها توسط موتورهای DC راه­هندازی نمی­شوند، بلکه ماشین­های AC نیز چنین کاربردی می­توانند داشته باشند. البته کارایی آنها نیز با توجه به اصطکاک غیرخطی و عدم قطعیت­های بار و … دچار افت می­ شود. بنابراین روش­های کنترلی متعددی برای بهبود کارایی این سیستم­ها تا کنون پیشنهاد و بعضاً اجرا شده، که انگیزه­ای برای تحقیق و بررسی روش­های جدید نیز می­باشد. در این پایان نامه و در فصل بعدی تحقیقی در مورد روش­های محاسبات نرم و تا حدودی مشابه همین فصل، در رابطه با ماشین­های سنکرون با آهنربای دائم (PSMSs) انجام گرفته است.
در جدول زیر مقایسه‌ای بین نتایج طرح‌های پیشنهادی در این پایان‌نامه و چند مرجع معتبر آمده است، که می‌توان به کمک آن در مورد موفقیت کار قضاوت کرد.
جدول ‏۴٫۳- جدول مقایسۀ نتایج