نتیجه۴-۲: فرض کنید  یک ایده‌آل اول از حلقه  ، و  یک زیرمدول از  - مدول  باشد به طوری که مدول‌های  و  هر دو - دوم باشند. آنگاه  یک مدول - دوم است اگر و تنها اگر .
اثبات: قسمت رفت واضح است. بالعکس، فرض کنید. حال فرض کنید ایده‌آلی دلخواه از حلقه باشد. اگر، آنگاه. فرض کنید. بنا بر لم ۴-۱، و.
بنابراین

( اینجا فقط تکه ای از متن پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

.
حال بنابر لم۴-۱،  دوم است.
در قضیه زیر مشاهده می‌کنیم که در شرایط خاص، زیرمدول یک مدول دوم، دوم است.
نتیجه۴-۳: فرض کنید  یک حلقه و برای یک ایده‌آل اول  از ،  یک  - مدول  - دوم باشد. آنگاه هر زیرمدول خالص غیر صفر از  یک مدول - دوم است.
اثبات: فرض کنید  یک زیرمدول خالص غیرصفر از  باشد. از آنجایی که ، داریم. حال اگر ایده‌آل حلقه  باشد که. آنگاه  بنابراین . حال بنابر لم ۴-۱،  مدول - دوم است.
نتیجه۴-۴: فرض کنید یک ایده‌آل از حلقه  و  یک  - مدول باشد به طوری که . آنگاه - مدول  یک مدول دوم است اگر و تنها اگر- مدول  یک مدول دوم باشد.
اثبات: فرض کنید - مدول  دوم است. آنگاه. از آنجایی که، میتوان  را به عنوان یک - مدول در نظر گرفت. فرض کنید  یک ایده‌آل از حلقه  باشد به طوری که . آنگاه . بنابر دوم بودن- مدول و لم۴-۱،  یا. در نتیجه  یا. حال بنابر لم ۴-۱،  یک - مدول دوم است.
بالعکس، فرض کنید  یک- مدول دوم باشد. آنگاه ، و همچنین. فرض کنید یک ایده‌آل از حلقه  باشد. آنگاه . از آنجایی که  یک- مدول دوم است، بنابراین  یا . درنتیجه یا. حال بنابر لم۴-۱،  یک - مدول دوم است.
نتیجه بعدی برای حلقه‌های جابجایی در]۲۶، قضیه ۲.۲[ ثابت شده است.
نتیجه۴-۵: فرض کنید  یک ایده‌آل اول از حلقه  باشد. آنگاه:
حاصل‌جمع مستقیم هر گردایه از  - مدول‌های راست - دوم، یک مدول - دوم است،
جمع هر گردایه ناتهی از زیرمدول‌های - دوم از یک  - مدول راست، یک زیرمدول - دوم از است.
اثبات: فرض کنید  یک گردایه ناتهی از - مدول‌های راست - دوم باشد، و. آنگاه داریم. حال فرض کنید ایده‌آلی از حلقه  باشد، به طوری که  آنگاه بنا بر لم۴-۱،  به ازای هر. بنابراین . در نتیجه  یک مدول - دوم است.
اثبات: فرض کنید  یک گردایه ناتهی از زیرمدول‌های - دوم از باشد. همریختی  را با ضابطه تعریف می‌کنیم. به سادگی دیده می‌شود  پوشاست پس نقش همریخت مدولاست. حال طبق قسمت و این موضوع که نقش همریخت هر مدول دوم، خود مدول دوم است این نتیجه به اثبات می‌رسد.
حال به بررسی مدول‌های دوم روی حلقه‌های کراندار و گولدی می‌پردازیم.
نتیجه۴-۶: فرض کنید  یک حلقه اول گولدی راست (یا چپ) باشد. آنگاه هر  - مدول راست بخش‌پذیر غیر صفر، یک مدول دوم است.
اثبات: فرض کنید یک - مدول راست بخش‌پذیر باشد و. اگر، چون حلقه اول است، بنابر لم ۲-۶۶ ایده‌آل زیرمدولی اساسی از است. حال بنابر قضیه ۲-۴۱ (قضیه گولدی)، شامل یک عنصر منظم از حلقه مانند می‌باشد. از بخش‌پذیر بودن می‌توان نتیجه گرفت ، که این یک تناقض است. بنابراین. حال فرض کنید ایده‌آلی غیر صفر از باشد، بنابراین. از طرفی مانند فوق می‌توان گفت که شامل عنصر منظمی از حلقه مانند می‌باشد. بنابراین . در نتیجه. حال بنابر لم۴-۱،  یک مدول دوم است.
نتیجه۴-۷: فرض کنید  یک حلقه اول گولدی راست یا چپ باشد. آنگاه هر  - مدول راست انژکتیو غیر صفر، یک مدول دوم است.
اثبات: هر مدول انژکتیو، بخش‌پذیر است. حال بنابر نتیجه۴-۶، این نتیجه اثبات می‌شود.
نتیجه۴-۸: فرض کنید  یک ایده‌آل اول از یک حلقه  باشد به طوری که  یک حلقه گولدی راست یا چپ باشد، و فرض کنید یک  - مدول راست انژکتیو غیر صفر باشد. آنگاه شامل یک زیرمدول - دوم است اگر و تنها اگر برای بعضیهای غیر صفر در.
اثبات:قسمت رفت واضح است. بالعکس، فرض کنید برای بعضی های غیر صفر از مدول. فرض کنید. آنگاه به‌وضوح یک زیرمدول است و. آنگاه یک - مدول انژکتیو است. زیرا فرض کنید نمودار زیر از - مدول‌ها و همریختی‌های مدولی را داشته باشیم

از آنجایی که هر - مدول، یک- مدول نیز هست. بنابراین می‌توانیم نمودار زیر را تشکیل دهیم

حال از آنجایی که یک- مدول انژکتیو است، می‌توان همریختی  یافت به طوری‌که نمودار فوق جابجایی شود. از طرفی یک - مدول است در نتیجه داریم
 پس  بنابراین  در نتیجه .
بنابراین همریختی را می‌توان از به در نظر گرفت.
لذا یک - مدول انژکتیو است، حال بنابر نتیجه ۴-۷، یک - مدول دوم است، و بنابر نتیجه ۴-۴، یک - مدول دوم است.
حال نشان می دهیم یک مدول- دوم است. طبق تعریف داریم، بنابراین. از طرفی از آنجایی که به عنوان - مدول، انژکتیو است، لذا بخش‌پذیر است. حال از آنجایی که ایده‌آل اول است لذا  حلقه اول است. همچنین بنابرفرض،  گولدی راست یا چپ است. حال مشابه اثبات نتیجه۴-۶، می‌توان گفت. در نتیجه می‌توان گفت. در نتیجه یک مدول- دوم است. 
قضیه۴-۹: فرض کنید  یک حلقه باشد به طوری که به ازای هر ایده‌آل اول  از  ،  یک حلقه کراندار چپ و گولدی چپ باشد. آنگاه  - مدول راست  دوم است اگر و تنها اگر  یک ایده‌آل اول از  و  یک - مدول راست بخش‌پذیر باشد.
اثبات: فرض کنید  یک مدول دوم باشد. اگر ، آنگاه ایده‌آل اول از  است. فرض کنید حلقه اول وگولدی چپ و کراندار چپ باشد. فرض کنید یک عنصر منظم از حلقه  باشد.از آنجایی که یک حلقه اول و گولدی چپ است پس یک ایده‌آل اساسی است. حال از آنجایی که یک حلقه کراندار چپ است، ایده‌آل غیر صفر از وجود دارد به طوری که مشمول در ایده‌آل چپ اساسی از حلقهاست. حال  برای بعضی ایده‌آل از  که به طور محض شامل است. بنابراین
 در نتیجه  .
حال بنابر لم۴-۱، .بنابراین - مدول  بخش‌پذیر است.
بالعکس، فرض کنید - مدول راست بخش‌پذیر باشد. از آنجایی که ایده‌آل اول حلقه است،  یک حلقه اول می‌باشد. حال بنابر نتیجه۴-۶، - مدول، دوم است. بنابراین طبق نتیجه۴-۴، - مدول دوم است.
قضیه۴-۱۰: فرض کنید  یک حلقه باشد به طوری که برای هر ایده‌آل اول  از  ،  یک حلقه کراندار راست و چپ و گولدی راست و چپ باشد. آنگاه یک  - مدول راست  یک مدول اول و دوم است اگر و تنها اگر یک ایده‌آل اول از  باشد و  یک - مدول راست بی‌تاب انژکتیو باشد.
اثبات: فرض کنید یک مدول اول و دوم باشد. آنگاه  یک  - مدول راست بی تاب است، زیرا فرض کنید و به طوری که، آنگاه. بنابراین از آنجایی که یک ایده‌آل از شامل عنصر منظم می‌باشد، بنابر قضیه گولدی می‌توان نتیجه گرفت ایده‌آل اساسی است. حال از آنجایی که حلقه کراندار است، ایده‌آل دوطرفه غیرصفر وجود دارد. فرض کنید، برای یک ایده‌آل از حلقه.، نتیجه می‌دهد. بنابراین اگر، از اول بودن نتیجه می‌شود. بنابراین و لذا ، و این یک تناقض است. بنابراین، بی‌تاب است. همچنین بنابر قضیه۴-۹،  یک  مدول بخش‌پذیر است. لذا بنابر]۱۶،قضیه ۳.۳[،  انژکتیو است.
برای اثبات قسمت برگشت، فرض کنید  یک - مدول راست بی‌تاب انژکتیو باشد.
بنابر نتیجه۴-۷، یک - مدول دوم است. حال بنابر نتیجه ۴-۴، یک- مدول دوم است.
حال نشان می دهیم یک مدول اول نیز می باشد. برای این منظور فرض می کنید ، نشان می دهیم برای هرعضو غیر صفر.
فرض کنید و . همچنین داریم. پس می توان فرض کرد.
ایده آلی اول است. بنابراین یک حلقه اول می باشد لذا بنا بر لم ۲-۶۶ می توان نتیجه گرفت  ایده آل اساسی غیر صفر است. در نتیجه بنا بر قضیه گولدی،  شامل عنصر منظمی مانند می باشد.
از آنجایی که و ، نتیجه می گیریم وبنابراین.
حال از بی تاب بودن - مدول و نیز از آنجایی که عنصر منظم حلقه است لذا .
بنابراین برای هر زیر مدول غیر صفر از- مدول داریم. لذا . نتیجه می دهد اول است.
نتیجه۴-۱۱: فرض کنید  یک حلقه باشد به طوری که به ازای هر ایده‌آل اول  از  ،  یک حلقه کراندار راست و چپ و گولدی راست و چپ باشد . فرض کنید  یک - مدول دوم باشد به طوری که هر تصویر همریخت از  یک مدول یکدست باشد. آنگاه  نیم ساده است.
اثبات: فرض کنید  زیرمدول  باشد. بنابراین نقش همریخت مدول  تحت همریختی طبیعی است. لذا طبق فرض، یکدست است و بنابراین طبق۲-۴۴،  زیرمدول خالص از  است و بنابراین تمامی زیرمدول‌های  خالص هستند. حال فرض کنید . بنابر نتیجه۴-۳ می‌توان نتیجه گرفت که هر زیرمدول  ، - دوم است. بنابراین  و تمام زیرمدول‌های  اول هستند زیرا پوچ‌ساز تمام زیرمدول‌های غیر صفر برابر است. حال اگر  یک زیرمدول غیر صفر از  باشد، آنگاه  اول و دوم است. حال بنابر قضیه۴-۱۰،  یک  - مدول انژکتیو است، و بنابراین  به عنوان  - مدول، جمعوند مستقیم  است. در نتیجه  به عنوان- مدول، جمعوند مستقیم  است. در نتیجه  نیم ساده است.
نتیجه۴-۱۲: فرض کنید  یک حلقه منظم وان‌نیومن باشد به طوری که به ازای هر ایده‌آل اول  از  ،  یک حلقه کراندار راست و چپ و گولدی راست و چپ باشد. آنگاه هر - مدول دوم، یک مدول نیم ساده است.
اثبات: بنابر۲-۴۵ داریم حلقه  وان‌نیومن است اگر وتنها اگر هر - مدول راست، یکدست باشد. بنابراین هر - مدول، یکدست است. حال بنابر نتیجه۴-۱۱ اثبات کامل است.
نتیجه۴-۵ نشان می‌دهد که برای ایده‌آل اول  از حلقه ، هر حاصل‌جمع مستقیم از مدول‌های  - دوم، - دوم است. اما نمی‌توان گفت حاصل‌جمع مستقیم مدول‌های دوم، دوم است. مثلاً اگر و دو عدد اول متمایز در باشند، آنگاه- مدول‌های  و  ساده هستند در نتیجه دوم هستند، ولی  به‌وضوح مدول دوم نیست. ثابت نشده که آیا حاصل‌ضرب مستقیم مدول‌های - دوم ، - دوم است. ولی نتیجه زیر در ]۲۶، قضیه ۲.۲[ برای حلقه‌های جابجایی ثابت شده است.
قضیه۴-۱۳: فرض کنید  یک حلقه باشد به طوری که به ازای هر عضو حلقه  ، ایده‌آلبه عنوان یک ایده‌آل چپ، متناهیاً تولید شده باشد. فرض کنید  یک ایده‌آل اول از  باشد و فرض کنید  یک گردایه از  - مدول‌های راست - دوم باشد. آنگاه  - مدول راست یک مدول - دوم است.
اثبات: فرض کنید، و توجه داشته باشید. حال فرض کنید یک ایده‌آل دلخواه از حلقه  باشد به طوری که، و فرض کنید.
آنگاه از آنجایی کهبه عنوان یک ایده‌آل چپ، متناهیاً تولید شده است، عدد مثبت  و عناصر   وجود دارند به طوری که . از آنجایی که ها مدول دوم هستند ویک ایده‌آل حلقه  است، بنابر لم۴-۱ داریم به ازای هر. حال فرض کنید ، به طوری که به ازای هر  ، . آنگاه برای هر، و بنابراین عناصر در وجود دارند به طوری که . در نتیجه داریم
.
بنابراین برای هر ایده‌آل از  که زیرمجموعه  نباشد. حال بنابر لم ۴-۱،  مدول دوم است و در این حالت به‌وضوح - دوم است.