یکی از ابزارهای شناسایی و دسته بندی فرایندهای تصادفی تشخیص نوع توزیع آنهاست.

۱-۱-۱۰ تعریف: گیریم یک فرایند تصادفی است. در این صورت توزیع های با بعد متناهی عبارتند از توزیع های توأم بردارهای تصادفی

که در آن و تمام بردارهای ممکن در است. مجموعه ی کلیه ی توزیع های با بعد متناهی یک فرایند تصادفی را توزیع متناهی البعد آن فرایند تصادفی می نامند. [۴۳]

۱-۲ امید شرطی

مفهوم امید شرطی یکی از مهم ترین مفاهیمی است که در درک موضوعاتی چون مارتینگل ها و انتگرال های تصادفی نقشی اساسی دارد. فرض می کنیم یک فضای احتمال باشد. قبل از ارائه ی تعریف امید شرطی، به تعریف زیر توجه کنید.

۱-۲-۱ تعریف: گیریم و و متغیرهای تصادفی، بردارهای تصادفی، یا فرایندهای تصادفی روی هستند و یک σ- جبر روی است. در این صورت

• اگر ، آن گاه گفته می شود که اطلاعات مربوط به در درونℱ قرار دارد یا این که بیش از آنچه که در درون وجود دارد دارای اطلاعات نیست.
• اگر ، آن گاه گفته می شود که بیش ازدارای اطلاعات نیست.[۴۳]

حال تعریف دقیق امید شرطی را تحت σ- جبر ℱ ارائه می دهیم.

۱-۲-۲ تعریف: یک متغیر تصادفی مثل را امید به شرط معلوم بودن σ- جبر می نامند هرگاه، بیش از آنچه که در درون وجود دارد دارای اطلاعات نباشد، یعنی ، و در شرط

صدق کند.[۴۳]

قضیه ی زیر نشان می دهد که این امید شرطی همواره وجود دارد و منحصر به فرد است.

۱-۲-۳ قضیه(رادون- نیکودیم): گیریم یک فضای احتمال، یک σ- جبر دیگر از زیرمجموعه های ، ، و یک متغیر تصادفی روی است. اگر ، در این صورت یک متغیر تصادفی روی وجود دارد به طوری که

(الف) ،

(ب) ،

که در آن . اگر متغیر دیگری باشد که در شرایط (الف) و (ب) صدق می کند، آن گاه

یعنی متغیر تصادفی منحصر به فرد نیز می باشد. متغیر تصادفی را امید به شرط می نامند و آن را با نمایش می دهند.[۴۳] اگر یک متغیر تصادفی، بردار تصادفی، یا فرایند تصادفی روی و ، - جبر تولید شده توسط باشند. در این صورت امید شرطی نسبت به به صورت زیر تعریف می شود:

[۴۳].

امید شرطی دارای خواصی است که به کمک آن ها می توان محاسبات مربوط به آن را ساده تر نمود.در این جا خواص را، بدون ارائه ی اثبات ، به صورت قاعده به شرح زیر ارائه می دهیم :

قاعده ی ۱ [۴۳]

امید شرطی خطی است : برای هر دو متغیر شرطی و و هر دو عدد ثابت و حقیقی و داریم

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

قاعده ی ۲ [۴۳]

امید های ریاضی هر متغیر تصادفی و امید شرطی یکسان هستند :

قاعده ی ۳ [۴۳]

اگر متغیر تصادفی و σ- جبر ℱ مستقل از یکدیگر باشند، آن گاه. به ویژه، اگر متغیر های

تصادفی و مستقل از یکدیگر باشند ، آن گاه

قاعده ی ۴ [۴۳] اگر برای متغیر تصادفی داشته باشیم ، آن گاه به ویژه ، اگر تابعی از متغیر های تصادفی Y باشد ، آن گاه ، در نتیجه .

قاعده ی ۵ [۴۳]

اگر برای متغیر تصادفی داشته باشیم ، آن گاه برای هر متغیر تصادفی داریم
به ویژه ، اگر تابعی از متغیر های تصادفی باشد ، آن گاه ، در نتیجه

قاعده ی۶ [۴۳]

اگر ℱ وʹℱ دو σ- جبر باشد که ʹℱ ℱ ، آن گاه

قاعده ی ۷ [۴۳]

اگر متغیر تصادفی مستقل از σ- جبر باشد ، و اگر ، که در آن یک متغیر تصادفی ، یا یک بردار تصادفی ، یا یک فرایند تصادفی است ، آن گاه برای هر تابع دو متغیره ی

که در آن به معنای آن است که را ثابت نگه داشته و امید را بر حسب محاسبه می کنیم .

قاعده ی ۸ [۴۳]

نامساوی جنسن برای امید شرطی نیز صادق است . یعنی اگر یک متغیر تصادفی ، ، تابعی محدب روی ℝ ، وʹℱ σ- جبری باشد که ℱʹℱ ، آن گاه

۱-۲-۴ تعریف( تابع مشخصه ): فرض کنیم یک فرایند تصادفی باشد ، آن گاه تابع مشخصه ی به صورت زیر تعریف می شود :

که در آن علامت امید ریاضی است [۲۴] .

۱-۳ معرفی چند فرایند تصادفی

در این قسمت چند فرایند تصادفی را معرفی می کنیم که در نظریه ی فرایندهای تصادفی ، فیزیک ، علوم مالی و غیره ، نقش اساسی دارند .

۱-۳-۱ تعریف: گیریم یک فضای احتمال است و فرایندهای تصادفی را حرکت براونی (استاندارد ) می نامند، هرگاه شرایط زیر در مورد آن برقرار باشد:

• این حرکت از صفر شروع می شود ، یعنی .
• نمو های آن مانا ومستقل از یگدیگر باشند، یعنی برای هر و هر به طوری که :

و این که برای هر انتخاب از با , ، متغیر های تصادفی

مستقل از یکدیگر باشند.

• برای هر ، دارای توزیع نرمال با میانگین صفر و واریانس است ، یعنی .
• در سرتاسر تقریباُ همه جا پیوسته است .(با احتمال ۱ هر مسیر آن پیوسته است ).[۴۳]

۱-۳-۲ تعریف ( حرکت براونی توأم با رانش ): گیریم یک حرکت براونی ساده است . در این صورت فرایند با تعریف
که در آن و ثابت هستند ، را حرکت براونی توأم با رانش می نامند . [۴۳]

۱-۳-۳ تعریف ( حرکت براونی هندسی): گیریم یک حرکت براونی استاندارد است . در این صورت فرایند با تعریف
که در آن و ثابت هستند، را حرکت براونی هندسی می نامند. [۴۳]

۱-۳-۴ تعریف ( فرایند گاما ): فرایند تصادفی را یک فرایند گاما گویند، هرگاه

۱) .

۲)نموهای آن مانا و مستقل از یکدیگر باشند.

۳) برای هر ، دارای توزیع گاما باشد.[۴۸]

۱-۴ مارتینگل ها

دانستن مفهوم مارتینگل در درک انتگرال تصادفی، اساسی است .

۱-۴-۱ تعریف: گیریم یک فضای احتمال است و خانواده ای از σ-جبرهایی است که همگی در ℱ قرار دارند. در این صورت را یک فیلتراسیون برای ℱ گویند هرگاه به ازای هر در حقیقت هر فیلتراسیون زنجیره ای غیرنزولی از اطلاعات است . هرگاه دنباله ای صعودی از σ- جبر های روی باشد، آن گاه این دنباله را نیز یک فیلتراسیون می نامند.[۴۳]

در بحث هایی که در اینجا مطرح خواهیم کرد ، معمولاً فیلتراسیون های مورد بحث در ارتباط با فرایندهای تصادفی هستند . به تعریف بعد توجه کنید .

۲-۴-۲ تعریف: گیریم یک فضای احتمال است و و یک فیلتراسیون برای این فضا، و یک فرایند تصادفی روی این فضا است . در این صورت فرایند را نسبت به فیلتراسیون سازگار گویند ، هرگاه
هر فرایند تصادفی مثل همواره نسبت به فیلتراسیون طبیعی تولید شده توسط یعنی
سازگار است .در حقیقت معنای سازگاری با فیلتراسیون این است که ها بیش از آن چه که در است حاوی اطلاعات نیستند .[۴۳]

۲-۴-۳ تعریف: گیریم یک فضای احتمال، یک فیلتراسیون برای این فضا ، و یک فرایند تصادفی روی این فضا است . در این صورت را نسبت به فیلتراسیون یک مارتینگل می نامند، هرگاه

• برای هر ، .
• نسبت به فیلتراسیون سازگار باشد.
• برای هر با ۰ داشته باشیم

یعنی تخمین خوبی برای به شرط معلوم بودن باشد.[۴۳]

۲-۴-۴ تعریف: گیریم یک فضای احتمال ، یک فیلتراسیون برای این فضا باشد. تابع را یک زمان توقف نسبت به فیلتراسیون گویند، اگر برای هر

باشد.[۸]

۱-۵ همگرایی متغیر های تصادفی

فرض کنیم دنباله ای از متغیرهای تصادفی روی فضای احتمال باشد . برای این دنباله تعریف می کنند [۴۳]:

الف) همگرایی : می نویسیم اگر

ب) همگرایی در احتمال: می نویسیم اگر برای هر

پ) همگرایی در : می نویسیم ( ) اگر ، و

[۲۲].

ت) اگر برای هر ، تابع توزیع باشد. در توزیع به همگراست، اگر

وقتی که ( ). [۹]

ث) فرض کنیم یک دنباله اندازه احتمال روی باشد. در توزیع به همگراست ( می نویسیم )، اگر
وقتی که ، . [۹]

۱-۵-۱ قضیه: اگر و دو اندازه احتمال روی باشند، آن گاه اگر وفقط اگر

برای هر تابع پیوسته و کراندار . یا به طور معادل اگر برای هرتابع پیوسته کراندار

[۹].

۱-۵-۲ قضیه: در توزیع به همگرا است، اگر و فقط اگر ، برای هر

وقتی که تابع مشخصه ی متغیر تصادفیمی باشد .[۲۴]

۱-۶ فرایند پواسون^[۲]

۱-۶-۱ تعریف: متغیر تصادفی پیوسته روی فضای احتمال با تابع چگالی احتمال

را متغیر تصادفی نمایی^[۳] با پارامتر می نامند. [۲۴]

۱-۶-۲ تعریف: متغیر تصادفی گسسته با مجموعه مقادیر ، متغیر تصادفی پواسون با پارامتر λ می نامند ، اگر

[۲۴].

۱-۶-۳ تعریف: گیریم یک دنباله از متغیر های تصادفی مستقل نمایی با پارامتر λ باشند و . آن گاه فرایند با تعریف

یک فرایند پواسون با نرخ λ نامیده می شود .[۲۴]

در واقع فرایند پواسون یک فرایند شمارشی است ، یا به طور معادل، تعداد زمان های تصادفی {} بین زمان و را شمارش می کند که برای آن یک دنباله ی مستقل وهم توزیع از متغیر های نمایی هستند . در حالت کلی اگر یک دنباله افزایشی از زمان های تصادفی با داده شده باشد، آن گاه فرایند شمارشی مرتبط با آن، ، به صورت زیر تعریف می شود:[۲۴]
تعداد زمان های تصادفی است که در بازه ی رخ می دهد و شرط ، با احتمال ۱، خوش تعریف بودن(متناهی) را تضمین می کند(برای هر ). اگر زمان های تصادفی به عنوان مجموع جزئی از یک دنباله ی مستقل و هم توزیع متغیرهای تصادفی نمایی باشند، آن گاه یک فرایند پواسون است. [۲۴] در حالت کلی برای یک فرایند شمارشی، دنباله ی زمان های تصادفی می توانند هر توزیع و ساختاری داشته باشند.

۱-۶-۴ قضیه: اگر یک فرایند شمارشی با نموهای مستقل و مانا باشد، آن گاه یک فرایند پواسون است.[۲۴]

خاصیت های فرایند های پواسون در قضیه ی بعد بیان می شوند .

۱-۶-۵ قضیه: گیریم یک فرایند پواسون باشد، آن گاه ۱) .

۲) برای هر ، ، متناهی است .

۳) برای هر ، مسیر های نمونه ای به طور قطعه ای ثابت هستند و به وسیله پرش هایی به اندازه ۱ افزایش پیدا می کند .

۴) مسیر های نمونه ای ، با احتمال ۱، از راست پیوسته و دارای حد چپ باشند.

۵) برای هر t ، با احتمال ۱ ، است.

۶) در احتمال پیوسته است ، یعنی

۷) برای هر ، دارای توزیع پواسون با پارا متر می باشد .

۸) تابع مشخصه ی به صورت زیر است :

۹) دارای نموهای مستقل است : برای هر

متغیر های تصادفی مستقل از یکدیگرند .

۱۰) دارای نموهای ماناست: برای هر ، دارای توزیع مشابه با می باشد.

اثبات: (قضیه ی ۲-۱ [۲۴]).

۱-۶-۶ تعریف(فرایند پواسون جبران شده^[۴]): این فرایند نسخه ی متمرکز فرایند پواسون است و به صورت زیر تعریف می شود:

که در آن λ نرخ فرایند است.

این فرایند دارای تغیرات مستقل است و همچنین

در نتیجه فرایند پواسون مارتینگل نیست، اما جبران شده ی آن یعنی مارتینگل است :

[۲۴].

۱-۶-۷ تعریف(فرایند پواسون ترکیبی^[۵] ): یک فرایند پواسون ترکیبی با نرخ و توزیع به اندازه پرش یک فرایند تصادفی می باشد، که به صورت زیر تعریف می شود:

که در آن اندازه های پرش ، مستقل و هم توزیع با هستند و یک فرایند پواسون با نرخ λ ، مستقل از ، می باشد .[۸]

۱-۶-۸ تعریف: توزیع احتمال روی را به طور نامتناهی تفکیک پذیر(بخش پذیر)^[۶] می گویند، اگر برای هر عدد صحیح، ، متغیر تصادفی مستقل و هم توزیع وجود داشته باشد، به طوری که

نیز دارای توزیع باشد یا به طور معادل [۲۴]

۱-۶-۹ نتیجه: گیریم متغیر تصادفی دارای تابع توزیع باشد. به طور نامتناهی تفکیک پذیر است، اگر و فقط اگر، برای هر، وجود داشته باشد به طوری که

که در آن Φ تابع مشخصه است.[۸]

۱-۶-۱۰ مثال: اگر بردار یک متغیر تصادفی گاوسی باشد. بنابراین تابع چگالی به

صورت زیر است:

که در آن بردار^d (میانگین ( یک ماتریس متقارن معین مثبت (ماتریس کواریانس) می باشد(منظور از ضرب داخلی است) در این حالت می نویسیمتابع مشخصه ی به صورت زیر است:
بنابراین

با توجه به ۱-۶-۹، می توان نتیجه گرفت که دارای یک توزیع به طور نامتناهی تفکیک پذیر است و هر .

۱-۶-۱۱ مثال: اگر متغیر تصادفی دارای توزیع پواسون با نرخ λ باشد، یعنی که .تابع مشخصه ی به صورت زیر است:

همچنین اگر توزیع برای و به صورت باشد، آن گاه دارای یک توزیع به طور نامتناهی تفکیک پذیر است.

۱-۶-۱۲ مثال: گیریم یک فرایند پواسون ترکیبی با نرخ λ و توزیع اندازه پرش های باشد، آن گاه با توجه به قضیه ی(۳٫۴ [۲۴]) تابع مشخصه ی آن به صورت زیر است:

اگر برای هر ، یک فرایند پواسون ترکیبی با نرخ و توزیع اندازه پرش های باشد ، آن گاه دارای یک توزیع به طور نامتناهی تفکیک پذیر است.

۱-۷ اندازه های تصادفی^[۷]

فضای احتمال را در نظر می گیریم. همچنین فرض می کنیم یک مجموعه و یک حلقه از زیرمجموعه های باشد.

۱-۷-۱ تعریف(اندازه تصادفی): اندازه تصادفی روی ، یک مجموعه از متغیرهای تصادفی است به طوری که ۱) ، ۲) برای دو مجموعه ی مجزای داشته باشیم:
[۸].

گیریم یک فرایند پواسون باشد، همان طور که در بخش ۱-۶ گفته شد ، فرایند پواسون ، یک فرایند شمارشی است . اگر دنباله ای از زمان های پرش باشند ، آن گاه را می توان، تعداد

پرش های بین بازه ، بدین صورت تعریف کرد :

به طور مشابه ، اگر ، آن گاه

در واقع زمان های پرش ترکیب تصادفی از نقاط روی می باشند و فرایند پواسون تعداد چنین نقاطی را در بازه ی ، شمارش می کند . این فرایند شمارشی ، یک اندازه روی بازه ی تعریف می کند .[۲۴] برای هر مجموعه ی اندازه پذیر تعریف می کنیم :

یک اندازه است، که مقادیر صحیح را اختیار می کند و با احتمال ۱، برای هر مجموعه ی کراندار ، متناهی است . باید توجه داشت که اندازه ی به بستگی دارد ، بنابراین یک اندازه ی تصادفی است . نرخ λ از فرایند پواسون، میانگین اندازه ی تصادفی را تعیین می کند :

جایی که یک اندازه لبگ از می باشد . را اندازه ی پرش تصادفی مرتبط ، با فرایند پواسون می نامند. [۲۴] می توان فرایند پواسون را به صورت زیر تعریف کرد :

با توجه به ارتباط بین اندازه ی و فرایند پواسون خواص زیر برای اندازه ی برقرار می باشند: [۲۴]

اگر یک اندازه پرش تصادفی متناظر با فرایند پواسون باشد. آن گاه برای بازه های دو بدو مجزای :

۱) تعداد پرش های فرایند پواسون در بازه‌ی است و یک متغیر تصادفی پواسون با پارامتر می‌باشد.

۲) برای دو بازه‌ی مجزا با ، متغیرهای تصادفی و مستقل هستند.

۳) در حالت کلی برای هر مجموعه‌ی اندازه پذیر ، دارای توزیع پواسون با پارامتر می‌باشد، که یک اندازه لبگ از است.[۲۴]

۱-۷-۲ تعریف: اندازه‌ی تصادفی متناظر با فرایند پواسون جبران شده‌ی ، به صورت زیر تعریف می‌شود:
از تعریف بالا نتیجه می‌شود که و .توجه کنید که برخلاف یک فرایند شمارشی نیست و یک اندازه‌ی علامتدار است.[۲۴]

اندازه‌ی یک اندازه‌ی تصادفی شمارشی برای هر مجموعه‌ی اندازه پذیر است. به وسیله‌ی زمان های و اندازه لبگ مشخص می‌شود. در این قسمت این ساختار را به حالت کلی تری توسعه خواهیم داد. در واقع را، به وسیله‌ی یک و اندازه لبگ را به وسیله‌ی هر اندازه‌ی رادون^[۸] روی

جایگزین خواهیم کرد.

۱-۷-۳ تعریف(اندازه‌ی رادون): گیریم باشد. روی ‌ یک اندازه ی رادون است، هرگاه برای هر مجموعه‌ی اندازه پذیر فشرده‌ی ، . [۲۴]

۱-۷-۴ تعریف(اندازه تصادفی پواسون): گیریم یک فضای احتمال باشد و و یک اندازه رادون مثبت روی باشد.( یک - جبر از زیر مجموعه‌های است) اندازه‌ی تصادفی پواسون روی ، با اندازه‌ی نرخ ، یک اندازه‌ی تصادفی با مقادیر صحیح است:

به طوری که:

۱) برای تقریباً همه جا ، یک اندازه ی رادن با مقادیر صحیح، روی باشد، یا به طور معادل: برای هر مجموعه‌ی اندازه پذیر کراندار با ، یک متغیر تصادفی با مقادیر صحیح باشد. . ۲) برای هر مجموعه‌ی اندازه پذیر یک متغیر تصادفی پواسون با پارامتر باشد، یعنی
۳) برای مجموعه‌‌های اندازه پذیر دو بدو مجزای ، متغیرهای مستقل از یکدیگر باشند.[۲۴]

۱-۷-۵ قضیه: برای هر اندازه‌ی رادون روی ، یک اندازه‌ی تصادفی پواسون روی با نرخ وجود دارد. اثبات: (قضیه ی ۲٫۱۴ [۲۴]) .

۱-۷-۶ تعریف: اندازه‌ی تصادفی پواسون جبران شده ی^[۹]  به صورت زیر تعریف می‌شود:

[۲۴]. با توجه به تعریف اندازه‌ی تصادفی پواسون ، برای مجموعه‌های فشرده‌ی دوبدوی مجزای ،ثابت می‌شود[۲۴] متغیرهای مستقل هستند و

در قسمت بعد به تعریف یکی از ابزارهای مالی یعنی اختیارمعاملات^[۱۰] خواهیم پرداخت.

۱-۸ اختیار معاملات

دگرگونی اقتصاد جهانی طی دهه‌ های اخیر و توسعه‌ی اقتصادی موجب ابداع یا تکامل ابزارهای متعدد مالی گردیده است. علاوه بر گسترش معاملات سنتی، دارایی‌های فیزیکی و مالی، مبادلات ابزار مشتقه شامل قراردادهای آتی^[۱۱]، قراردادهای اختیار معامله و قراردادهای معاوضه‌ای^[۱۲] شتاب روزافزونی یافته است. به نحوی که ارزش جاری قراردادهای مشتقه منتشر شده در بازار که دارای موقعیت باز می‌باشند، در طی سال ۲۰۰۴ در حدود ۵۰ تریلیون دلار برآورد شد (که تحقق یافته است) [۵]. هدف این پایان نامه ارزش گذاری اختیار معاملات می باشد. پس به تعریف این نوع مشتقات خواهیم پرداخت.

۱-۸-۱ تعریف (مشتق مالی) : مشتق مالی^[۱۳] یک ابزار مالی است که ارزش آن از سایر ابزارهای مالی مشتق می شود، به این معنی که قیمت آتی این ابزارها به قیمت آتی یک ابزار مالی پایه متصل شده است و علت نام گذاری این ابزارها به عنوان مشتقه نیز همین امر می باشد چرا که ارزش خود را از سایر دارایی ها همچون اوراق بهادار، نرخ سود، نرخ ارز، شاخص سهام و حتی کالای اساسی کسب می کنند و لذا تغییرات قیمت هر یک از مشتقات، تابعی از تغییرات قیمت دارایی پایه آن هاست. برای مثال اختیار معامله یک مشتق مالی است که توسط جبرانی^[۱۴] آن (تابعی از دارایی های بنیادین(سهام)، ) تعریف می شود..[۵] به طور کلی دو نوع قرارداد اختیار معامله وجود دارد: [۳۶]

1. قرارداد اختیار خرید^[۱۵]
2. قرارداد اختیار فروش^[۱۶]

۱-۸-۲ تعریف( قرارداد اختیار خرید): این قرارداد به دارنده‌ی آن، این حق (نه اجبار) را می‌دهد تا دارایی را در تاریخ معینی و با قیمت مشخصی خریداری نماید. [۳۶]

۱-۸-۳ تعریف(قرارداد اختیار فروش): این قرارداد به دارنده‌ی آن، حق(نه اجبار) فروش یک دارایی در تاریخ

معین و با قیمت مشخص را می‌دهد. [۳۶]

تاریخی که قرارداد معین می‌کند، به «تاریخ انقضاء» یا « سررسید اختیارمعامله^[۱۷]» معروف است. قیمت تعیین شده

در قرارداد تحت عنوان «قیمت توافقی^[۱۸]» نامیده می‌شود [۳۶] .دو نوع مشتقات در مورد اختیار معاملات وجود دارد:

۱) مشتقات یا محصولات استاندارد^[۱۹] ۲) مشتقات یا محصولات غیر استاندارد^[۲۰] [۳۶] مشتقات استاندارد دارای ویژگی‌های استاندارد و معین است و معاملات آن ها از گرمی و روانی خوبی برخوردار می‌باشد. همچنین قیمت آن ها و میزان نوسان پذیری‌‌های ضمنی توسط بورس یا کارگزاران مطابق مقررات و قوانین اعلام می‌شود . این نوع محصولات دو دسته اند: آمریکایی یا اروپایی ( تفاوت این دو نوع اختیار معامله ربطی به منطقه‌ی جغرافیایی ندارد) [۳۶]

اختیار معامله‌ی آمریکایی^[۲۱] در هر زمان از طول دوره‌ی عمر قرارداد تا تاریخ انقضا یا در تاریخ سررسید قابل

اعمال است، ولی اختیار معامله‌ی اروپایی^[۲۲] تنها در تاریخ انقضای آن قابل اعمال است. [۳۶]

یکی از خصوصیات بازار مشتقات خارج از بورس، وجود تعداد زیادی از محصولات غیر استاندارد یا غیر متعارف است که توسط مهندسان مالی ابداع و ایجاد می‌شوند. هر چند که معمولاً این قبیل محصولات بخش کوچکی از سبد سرمایه گذاری را تشکیل می‌دهد، با این حال چون که عموماً سودآوری این محصولات بیشتر از محصولات استاندارد است، از اهمیت زیادی برای یک بانک(مؤسسه) سرمایه گذاری دارند. [۳۶]

در این قسمت به بررسی اختیار معاملات توأم با مانع^[۲۳] از محصولات غیر استاندارد، خواهیم پرداخت.

۱-۸-۴ تعریف(اختیار معاملات توأم با مانع): این نوع اختیار معاملات، اختیار معاملاتی هستند که جبرانی آن ها بستگی به این دارد آیا ارزش سرمایه‌ی بنیادین آن ها به سطح مشخصی در طول اعتبار آن می‌رسد یا نه. اختیار

معاملات توأم با مانع به دو دسته تقسیم می‌شوند:

1. اختیار معاملات (ارزشمند)
2. اختیار معاملات (بی ارزش) [۳۶]

در اختیار معاملات نوع اول هنگامی که قیمت دارایی پایه به سطح معینی برسد، قرارداد اختیار معامله را از آن به بعد می‌توان به اجرا گذارد. در اختیار معاملات نوع دوم، هنگامی که قیمت دارایی پایه به سطح معینی برسد، قرارداد اختیارمعامله بی ارزش می‌شود. [۳۶] چهار نوع قرارداد اختیار معامله وجود دارد: ۱) یک اختیار خرید ، قرارداد اختیار خرید اروپایی رسمی است که به محض این که قیمت دارایی به سطح مشخص رسید، بی ارزش می‌شود و نمی توان آن را اعمال کرد. سطح مشخص شده بالاتر از قیمت دارایی در زمان انعقاد قرارداد است. [۳۶]

۲) یک قرارداد اختیار خرید به طریق مشابه تعریف می‌شود، منتها سطح تعیین شده پایین تر از قیمت دارایی در زمان انعقاد قرارداد اختیار معامله است.[۳۶]

۳) یک اختیار فروش ، قرارداد اختیار فروش اروپایی رسمی است که به محض این که قیمت دارایی به سطح مشخص رسید، بی ارزش می‌شود و نمی توان آن را اعمال کرد. سطح مشخص شده بالاتر از قیمت دارایی در زمان انعقاد قرارداد است. [۳۶]

۴) یک قرارداد اختیار فروش ، قرارداد اختیار فروش اروپایی رسمی است که به محض این که قیمت دارایی به سطح مشخص رسید، بی ارزش می‌شود و نمی توان آن را اعمال کرد. سطح مشخص شده پایین تر از قیمت دارایی در زمان انعقاد قرارداد است. [۳۶] به همین ترتیب چهار نوع قرارداد اختیار معامله وجود دارد: ۱) یک اختیار خرید یک قرارداد اختیار خرید اروپایی رسمی است که اجرای آن منوط به رسیدن قیمت دارایی به سطح معین می‌باشد. سطح معین در ابتدای قرارداد بیشتر از قیمت دارایی تعیین می‌شود.[۳۶] ۲) یک قرارداد اختیار خرید شبیه قرارداد فوق است با این تفاوت که سطح مشخص شده پایین تر از قیمت دارایی در ابتدای انعقاد اختیار معامله می باشد [۳۶]. ۳) یک اختیار فروش یک قرارداد اختیار فروش اروپایی رسمی است که اجرای آن منوط به رسیدن قیمت دارایی به سطح معین می‌باشد. سطح معین در ابتدای قرارداد بیشتر از قیمت دارایی تعیین می‌شود.[۳۶]

۴) یک قرارداد اختیار فروش شبیه قرارداد فوق است با این تفاوت که سطح مشخص شده پایین تر از قیمت دارایی در ابتدای انعقاد اختیار معامله می باشد [۳۶].

۱-۹ معادلات انتگرو دیفرانسیل جزئی^[۲۴]

۱-۹-۱ تعریف: یک معادله ی متشکل از دو یا تعداد بیشتری متغیر مستقل همراه با مشتقات جرئی یک یا تعداد بیشتری متغیر وابسته نسبت به متغیرهای مستقل، یک معادله ی دیفرانسیل با مشتقات جزئی نامیده می شود.[۳۳]

۱-۹-۲ تعریف: معادله ی دیفرانسیل با مشتقات جزئی را خطی می گویند اگر متغیرهای وابسته و مشتقات آن ها در معادله ی دیفرانسیل به صورت خطی ظاهر شوند.معادله ی دیفرانسیل را که خطی نباشد، غیر خطی می گویند. [۳۳]

مرتبه ی یک معادله ی دیفرانسیل با مشتقات جزئی برابر با بالاترین مرتبه ی مشتقی است، که در معادله ظاهر می شود.

صورت کلی یک معادله ی دیفرانسیل خطی مرتبه ی دوم برای دو متغیر مستقل عبارت است از :

معادله ی بالا را یک معادله ی سهموی می گویند، هرگاه

[۳۳] . ۱-۹-۳ تعریف: یک معادله ی متشکل از دو یا تعداد بیشتری متغیر مستقل همراه با مشتقات جزئی یک یا تعداد بیشتری متغیر وابسته نسبت به متغیرهای مستقل و یک بخش انتگرالی را ، یک معادله ی انتگرو دیفرانسیل جزئی می نامند یا به طور معادل:
[۳۲].

فصل دوم

فرایندهای لوی

ابداع نظریه ی فرایندهای تصادفی، یکی از مهمترین پیشرفت های علمی است.از دیدگاه شهودی، هدف این نظریه الگوسازی ((شانس)) به کمک ((زمان)) است.فرایندهای تصادفی، نه تنها موجودات ریاضی غنی هستند، بلکه کاربردهای وسیعی در فیزیک، مهندسی، زیست شناسی و اقتصاد نیز دارند . این بخش، مقدمه ای است برای آشنایی با رده ای از فرایندهای تصادفی که به افتخار احتمال دان بزرگ فرانسوی پل لوی^[۲۵]، که اولین بار آن ها را در دهه ی ۱۹۳۰ مطالعه و بررسی کرد، فرایندهای لوی نام گرفته اند. ساختار اساسی این فرایند در((دوران طلائی)) نظریه ی احتمال در دهه ی ۱۹۴۰-۱۹۳۰ توسط لوی، ریاضیدان روسی خینچین^[۲۶] و ایتو^[۲۷] در ژاپن، شناسایی گردید. در سال های اخیر، به دلیل پیشرفت های نظری و هم چنین گستره ی وسیعی از کاربردهای جدید به ویژه در ارزیابی قراردادهای اختیار معامله در مدیریت مالی، علاقه به این فرایند افزایش یافته است و از سال ۱۹۹۸ گردهمائی های تخصصی ویژه ی این فرایند برگزار شده است [۱و۲۴] .

۲-۱ ساختار فرایندهای لوی

۲-۱-۱ تعریف: فرایند تصادفی را یک فرایند لوی روی گویند، هرگاه :

1. با احتمال یک .
2. دارای نموها مستقل و مانا باشد، یا به طور معادل: برای هر و هر

و برای هر دنباله ی متناهی مرتب از زمان ها ، متغیرهای تصادفی

مستقل باشند.

1. به طور تصادفی پیوسته باشد، به عبارت دیگر برای هر و هر :

۴) مسیرهای نمونه ای آن، با احتمال ۱، از راست پیوسته و دارای حد چپ باشند.(کادلاگ^[۲۸])[۲۴و۸]

در واقع تا سال های متمادی نام این فرایند، فرایند دارای نموهای مستقل مانا بود. [۱]

۲-۱-۲ قضیه: اگر یک فرایند لوی باشد. آن گاه برای هر ، یک توزیع به طور نامتناهی تفکیک پذیر دارد. برعکس، اگر یک توزیع به طور نامتناهی تفکیک پذیر باشد، آن گاه یک فرایند لوی وجود دارد،

به طوری که دارای توزیع است.

اثبات:]۸[ .

۲-۱-۳ مثال: اگر یک حرکت براونی باشد. بنابر مثال ۱-۶-۱۰ و قضیه ی ۲-۱-۲ یک فرایند لوی است.

۲-۱-۴ مثال: اگر یک فرایند پواسون باشد، آن گاه بنابر مثال ۱-۶-۱۱ و قضیه ی ۲-۱-۲ نتیجه می شود که ، فرایند لوی است.

۵-۱-۲ مثال: گیریم یک فرایند پواسون ترکیبی با نرخ λ و توزیع اندازه پرش های باشد، آن گاه با توجه به مثال ۱-۶-۱۲ و قضیه ی ۲-۱-۲ نتیجه می گیریم که یک فرایند لوی است.

۲-۱-۶ قضیه(تابع مشخصه ی فرایند لوی): اگر یک فرایند لوی روی باشد، آن گاه تابع پیوسته ی وجود دارد، به طوری که
تابع را نمای مشخصه یا نمای لوی ، فرایند می نامند[۲۶] .

در این قسمت قصد داریم با بهره گرفتن از مفهوم اندازه ی تصادفی که در بخش ۱-۷ معرفی شد رفتار پرش های فرایند پواسون ترکیبی را بررسی کنیم.

برای هر فرایند کادلاگ، یا به طور خاص برای هر فرایند پواسون ترکیبی مانند روی می توان یک اندازه تصادفی را روی به عنوان توصیف پرش های مرتبط کرد(بخش ۲٫۶ [۲۴])، یعنی این که برای هر مجموعه اندازه پذیر ،

و برای هر مجموعه ی ، تعداد زمان های پرش بین و را شمارش می کند، به طوری که اندازه های پرش آن در هستند.[۲۴]

متناظر با هر نمای مشخصه، یک فرایند لوی وجود دارد که مسیرهای آن با احتمال یک از راست پیوسته و از چپ دارای حد هستند(کادلاگ)، به این دلیل، فرایند تنها می تواند ناپیوستگی های پرشی داشته باشد، و در هر بازه ی زمانی بسته، فقط تعداد شمارش پذیر از این ناپیوستگی ها وجود دارد.

۲-۱-۷ تعریف(اندازه لوی): اگر یک فرایند لوی روی باشد. اندازه ی لوی روی برای هر مجموعه بورل از به صورت زیر تعریف می شود:

در واقع برای هر واحد زمانی، تعداد پرش های مورد انتظاری است که اندازه ی آن ها متعلق به Aاست و اندازه ی پرش در لحظه ی و حد چپ است [۲۴].

۲-۱-۸ قضیه: اگر یک فرایند پواسون ترکیبی با نرخ و توزیع اندازه پرش باشد. آن گاه اندازه ی پرش آن، ، یک اندازه تصادفی پواسون روی است، با اندازه ی نرخ

و هر فرایند پواسون ترکیبی را می توان به صورت زیر نوشت:

اثبات: (قضیه ی ۳٫۵ [۲۴]) .

۲-۱-۹ قضیه (تجزیه ی لوی – ایتو^[۲۹]): گیریم یک فرایند لوی روی و همچنین یک اندازه ی لوی باشند، آن گاه

• یک اندازه ی رادون روی است، که در شرایط زیر صدق می کند:
• اندازه پرش ، که با نشان داده می شود، یک اندازه ی تصادفی پواسون روی است(با اندازه نرخ ).
• یک بردار و یک حرکت براونی - بعدی با ماتریس کواریانس وجود دارد به طوری که

که در آن

سه تایی را سه تایی مشخصه یا سه تایی فرایند می نامند.[۲۴]

در هر بازه ی زمانی متناهی، فرایند در (۱)، فقط تعداد متناهی پرش با اندازه ی بزرگتر از واحد دارد. مجموع این تعداد متناهی پرش ها را می توان به صورت نوشت. به همین ترتیب مجموع پرش های با اندازه ی بزرگتر از و کمتر از یک، عبارت است از امّا حد این عبارت هنگامی که ، ممکن است واگرا باشد. استدلال لوی آن بود که تمایز بین تجمع تعداد بسیار زیادی از پرش های با اندازه ی کوچک و حرکات تعینی بسیار شدید، دشوار است. به این دلیل لازم است عبارت

را به جای ، در نظر گرفت که در آن دنباله ای از مارتینگل های انتگرال پذیر با میانگین صفرهستند این دنباله در میانگین مربعی همگرا به یک مارتینگل به صورت است، و اندازه تصادفی پواسون جبران شده است، که در بخش ۱-۷ تعریف شد.

حال با شناخت از ساختار فرایند لوی می توان تابع مشخصه ی آن را به دست آورد.

۲-۱-۱۰ قضیه (نمایش لوی – خینچن^[۳۰]): اگر یک فرایند لوی روی با سه تایی مشخصه ی باشد، آن گاه

وقتی

اثبات: با توجه به تجزیه ی لوی-ایتو داریم که متغیر تصادفی (تقریباً همه جا) به ، وقتی که به صفر میل می کند، همگراست و از همگرایی (تقریباً همه جا) همگرایی در توزیع را نتیجه می گیریم. بنابراین با توجه به قضیه ی ۱-۵-۲، نتیجه می گیریم که تابع مشخصه ی به تابع مشخصه ی همگرا است . چون مستقل هستند وبا توجه به ۲-۱-۵، ۲-۱-۶ و ۲-۱-۷ داریم:

اگر برای هر را به سمت صفر میل دهیم، اثبات کامل می شود( . ضرب داخلی است).

برای فرایندهای لوی حقیقی مقداریک بعدی، فرمول لوی- خینچن به صورت زیر است:

۲-۲ ارتباط بین فرایندهای لوی وفرایندهای مارکوف^[۳۱]:

۲-۲-۱ (فرایند مارکوف): به فرایندی یک فرایند مارکوف گویند که داشتن حال آینده را از گذشته مستقل کند، به عبارت دیگر اگر یک فضای احتمال، مجهز به فیلتراسیون باشد و همچنین

یک فرایند سازگار باشد. را یک فرایند مارکوف می نامند اگر برای همه ی

و هر ۰
[۸].

۲-۲-۲ قضیه : فرض کنیم یک فرایند لوی باشد، آن گاه یک فرایند مارکوف است .

اثبات : [۸].

۲-۲-۳ قضیه (خاصیت قوی مارکوف): اگر یک فرایند لوی و یک زمان توقف باشند، آن گاه روی ، فرایند با تعریف (به ازای هر ) : ۱) یک فرایند لوی مستقل از است. ۲) برای هر ، دارای توزیع یکسان با می باشد. ۳) دارای مسیرهای نمونه ای کادلاگ است وهمچنین – سازگار می باشد.

اثبات: ( قضیه ی (۲٫۲٫۱۱) [۸]).

۲-۲-۴ تعریف(هسته ی انتقالی^[۳۲]): هسته ی انتقالی از فرایند به صورت زیر تعریف می شود:

در واقع تعریف بالا احتمال انتقال از نقطه ی در زمان به مجموعه ی ، در زمان است.[۸]

۲-۲-۵ قضیه(معادله ی چپمن- کلموگورف^[۳۳]): اگریک فرایند مارکوف باشد،آن گاه برای هر و :

با توجه به تعریف هسته ی انتقالی به آسانی می توان نتیجه گرفت که هسته ی انتقالی فرایندهای لوی در زمان و فضا همگن است، یعنی

۲-۲-۶ تعریف: خانواده دو پارامتری از عملگرهای خطی روی به صورت زیر تعریف می شود، وقتی یک فرایند مارکوف است:
[۸].

از ویژگی های مارکوف نتیجه می شود که این خانواده یک دستگاه تحولی^[۳۴] تشکیل می دهد، به این معنی که برای هر ، معادله ی برقرار است. حال اگر تعریف شود ، آن گاه ویژگی تحولی به ویژگی نیم گروهی^[۳۵]، ، تبدیل می شود.[۸]

۲-۲-۷ تعریف(فرایندهای فلر^[۳۶]): یک فرایند مارکوف همگن را یک فرایند فلر گویند، اگر

وقتی فضای باناخ مرکب از توابع پیوسته روی است که در بی نهایت صفرند.[۸]

۲-۲-۸ قضیه: اگر نیم گروه در خاصیت فلر صدق کند، آن گاه مولد بی نهایت کوچک^[۳۷] برای این نیم گروه وجود دارد که به صورت زیر تعریف می شود:
جایی که همگرایی در حالت نرم سوپریمم روی C₀ است و نیز باید وجود داشته باشد. [۸]

۲-۲-۹ قضیه: فرایند لوی یک فرایند فلر است.

اثبات: [۸].

حال می توان یک مولد بی نهایت کوچک برای فرایندهای لوی ارائه داد.

۲-۲-۱۰ قضیه(مولد بی نهایت کوچک فرایندهای لوی): اگر یک فرایند لوی با سه تایی مشخصه ی روی باشد، آن گاه مولد بی نهایت کوچک ، ، به صورت زیر به دست می آید:

عبارت بالا برای با محمل فشرده خوش تعریف است. که در آن فضای توابع دو بار مشتق پذیر و پیوسته که در بی نهایت صفرند، می باشد.[۲۴]

۲-۲-۱۱ نتیجه: فرض کنیم شرایط قضیه ی بالا برقرار باشند و همچنین به ازای هر ، آن گاه مولد بی نهایت کوچک یعنی به صورت زیر است:

۲-۳ فرایندهای لوی و مارتینگل ها

یکی از مفاهیم تئوری احتمال و ریاضیات مالی ، مفهوم مارتینگل است که در بخش ۱-۴ به آن پرداخته شد.

۲-۳-۱ قضیه: اگر یک فرایند لوی با سه تایی مشخصه ی باشد: الف) یک مارتینگل است،اگر و فقط اگر ،
ب) مارتینگل است، اگر و فقط اگر،
[۲۴].

۲-۳-۲ تعریف(فرایندهای تبعی^[۳۸]): هر فرایند لوی یک بعدی که با احتمال یک غیرنزولی باشد ، یک فرایند تبعی نامیده می شود . برای این فرایندها ، تبدیل فوریه ی تعریف کننده ی تابع مشخصه را می توان ادامه ی تحلیلی داد تا تبدیل لاپلاس آن به صورت
به دست آید. که در آن
در اینجا ، و یک اندازه ی لوی است با این ویژگی که و
(تابع را نمای لاپلاس^[۳۹] فرایند تبعی می نامند). [۸و۲۴]

یک کاربرد مهم فرایندهای تبعی در تغییر مقیاس زمانی فرایندهای لوی است.

۲-۳-۳ قضیه: فضای احتمال را در نظر می گیریم. اگر یک فرایند لوی با نمای مشخصه ی و یک فرایند تبعی مستقل از با نمای لاپلاس و سه تایی باشد ، آن گاه فرایند

یک فرایند لوی می باشد که تابع مشخصه ی آن

است و دارای سه تایی مشخصه ی با
است که در آن ها توزیع احتمال است.[۲۴]

روش ارائه شده در قضیه ی بالا ، اولین بار در دهه ی ۱۹۵۰ توسط بوخنر^[۴۰] مطالعه گردید و به این دلیل گاهی آن را به افتخار او « تبعی سازی به معنای بوخنر » می نامند.[۱]

دو نوع از فرایندهای لوی ، که دارای کاربرد زیادی در مدل های مالی دارای پرش هستند را در ادامه بررسی خواهیم

کرد: گروه اول، مدل های از نوع دیفیوژن پرشی^[۴۱] و گروه دوم ، مدل های با فعالیت نامتناهی^[۴۲].

۲-۳-۴ تعریف(مدل های از نوع دیفیوژن پرشی): این مدل ها، یک فرایند لوی با یک مولفه ی گاوسی غیر صفر و بخش پرشی با پرش های متناهی هستند و دارای فرم زیر هستند:
که در آن ها هم توزیع و مستقل از یکدیگرند، مولفه ی گاوسی و یک فرایند پواسون و مستقل از ها است. از جمله خواص مهم این نوع مدل ها این است که ، توزیع اندازه پرش های آنها شناخته شده است.[۲۴]

مدل مرتون^[۴۳]، یک مدل دیفیوژن پرشی است[۲۴]: پرش های در ارزش- لگاریتمی دارای توزیع لگاریتمی است یا به عبارت دیگر و چگالی احتمال به صورت

۲-۳-۵ تعریف(مدل های با فعالیت نامتناهی یا با نرخ نامتناهی): این مدل ها لزوماً دارای مولفه ی حرکت براونی نیستند و در هر بازه تعداد نامتناهی پرش وجود دارد. در این نوع مدل ها، توزیع اندازه ی پرش ها وجود ندارد و فرم بسته ی چگالی آن ها در بعضی از موارد در دسترس است[۲۴].

مدل واریانس گاما^[۴۴]، یک مدل با فعالیت نامتناهی است[۲۴]. فرایند واریانس گاما از تبعی نمودن حرکت براونی با تبعی کننده ی گاما به دست می آید .( در واقع با جایگزین کردن فرایند گاما به جای زمان در ) تابع مشخصه یا نمای مشخصه ی این مدل به صورت زیر است:
که در آن تلاطم ، رانش حرکت براونی و واریانس تبعی کننده ی آن(یعنی واریانس فرایند گاما) می باشند و همچنین چگالی اندازه ی لوی این مدل به صورت زیر
نمایش داده می شود، جایی که c= و

هنگامی که توزیع تغییرات یا پرش های یک فرایند لوی ناشناخته باشد دانش دقیقی از تصویر مسیرهای نمونه ای آن در دست نیست. . در واقع با یک مدل با فعالیت نامتناهی روبرو هستیم ، که در این حالت ، این مدل را می توان با یک فرایند پواسون ترکیبی تقریب زد .

گیریم یک فرایند لوی با فعالیت نامتناهی باشد ، که دارای سه تایی مشخصه ی است . هدف ، پیدا کردن یک فرایند پواسون ترکیبی است، که فرایند اولیه ی را تقریب می زند. البته این تقریب تحت برخی حالت های خاص به دست خواهد آمد.

با توجه به تجزیه ی لوی- ایتو ، فرایند را می توان به صورت مجموع یک فرایند پواسون ترکیبی و یک حد (تقریباً همه جا) از یک فرایند پواسون ترکیبی جبران شده ، تجزیه کرد، یعنی

که در آن

تعریف شده در بالا را می توان به وسیله ی فرایند تخمین زد ، وقتی که

خطای این تقریب به صورت زیر است:

ثابت می شود(بخش ۶٫۳ [۲۴]) ، یک فرایند لوی با سه تایی مشخصه ی است و .

اگر پرش های کوچک فرایند لوی ، با تغییرات کراندار باشد ، آن گاه می توان فرایند را به صورت زیر تجزیه کرد[۲۴] :که در این حالت نیاز به عبارت فرایند پواسون ترکیبی جبران شده ی آن نداریم. می توان را به وسیله ی تقریب زد ، که در آن
فرایند یک فرایند لوی با فعالیت نامتناهی است که پرش های آن کراندار می باشند . در نتیجه واریانس نیز متناهی است ، یعنی:
کیفیت تقریب بستگی به سرعت همگرایی به صفر دارد ، وقتی که . برای اثبات مطالب بالا می توان به [۲۴]مراجعه کرد.

اگر تعداد پرش های خیلی زیادی وجود نداشته باشد، آن گاه تقریب فرایند پواسون ترکیبی برای فرایند لوی دقت خیلی بالایی دارد . در این قسمت یک تقریب را ارائه خواهیم داد که دقت تقریب پواسون ترکیبی را ، با جایگزینی پرش های کوچک با یک حرکت براونی بالا خواهد برد. در واقع اگر تعداد پرش های کوچک خیلی زیاد باشد ، تقریب فرایند لوی به وسیله ی یک فرایند پواسون ترکیبی و جایگزینی پرش های کوچک با یک حرکت براونی ، مکمل یکدیگرند. در این قسمت فرض می کنیم پرش های کوچک ، فرایند خیلی زیاد (نامتناهی) باشند.[۲۴]

۲-۳-۵ قضیه: اگر فرایند خطای نرمال سازی شده باشد ، آن گاه این فرایند در توزیع به حرکت براونی همگراست و شرط همگرایی آن می باشد( یک حرکت براونی با میانگین صفر و واریانس ۱ است). [۲۴و۳۸]

با توجه به (۲) ، (۳) و (۴) داریم :

همچنین بنابر قضیه ی (۲٫۳٫۴) ، به جای تقریب (۳)می توان از تقریب زیر استفاده کرد:

قضیه ی زیر یک کران بالا را برای تقریب (۵) ارائه می دهد .

۲-۳-۶ قضیه: اگر یک تابع مشتق پذیر با مشتق کراندار باشد به طوری که برای ثابت باشد،

آن گاه:
که در آن و یک ثابت است که در شرط صدق می کند.

اثبات: (قضیه ی ۶٫۲ [۲۴]).

فصل سوم

ارزش گذاری اختیار معاملات و ارتباط آنها با معادلات

در سال های اخیر، بازارهای اوراق اختیار معامله، در دنیای مالی سرمایه گذاری، اهمیت روزافزونی پیدا کرده است. از این رو نحوه ی قیمت گذاری اختیار معاملات یکی از مسائل مهم در بازارهای مالی می باشد. سوال اساسی این است که آیا بازار مالی بهای یگانه ای را برای اختیار معاملات تعیین می‌کند و اگرپاسخ مثبت است، آیا می‌توان این بهای یگانه را محاسبه کرد. توجه به این مسأله تا حد زیادی مربوط به نتایج بلک^[۴۵]، شولز^[۴۶] و مرتون^[۴۷] در دهه ۱۹۷۰ است، که با دادن پاسخ مثبت به این سوال جایزه‌ی نوبل در اقتصاد را از آن خود کردند. همچنین این مدل نقش اساسی و محوری در موفقیت مهندسی مالی در دهه‌ های ۱۹۸۰ و ۱۹۹۰ داشته است[۱۵]. الگوی بلک- شولز- مرتون با وجود زیبایی و ارزش نظری آن، دارای محدودیت‌ها و کمبودهایی است که منجر به سوال برانگیز شدن آن شده است. یکی از عمده‌ترین این موارد مشاهده‌ی رفتار آماری قیمت‌های سهام به صورت توزیع‌های دارای دم‌های سنگین است. این با مدل گاوسی مطابقت ندارد و لذا پیشنهاد شد که حرکت براونی با یک فرایند لوی کلی‌تر جایگزین شود. در این بخش هدف اصلی ما ارزش گذاری اختیارمعاملات اروپایی و توأم بامانع تحت فرایندهای لوی است.

۳-۱ ساز و کار بازارهای اختیار معامله

در این پایان نامه در مورد قراردادهای اختیار معامله‌ی سهام بحث خواهیم کرد. همان طور که در فصل اول ذکر شد، به طور کلی دو نوع قرارداد اختیار معامله وجود دارد:

(۱) «قرارداد اختیار خرید» (۲) «قرارداد اختیار فروش»

خریدار اختیار خرید امیدوار است که قیمت سهم افزایش یابد، در حالی که خریدار اختیار فروش انتظار دارد که قیمت سهام کاهش یابد، اکنون می‌خواهیم با توجه به تصادفی بودن قیمت دارایی پایه (سهم) در تاریخ سررسید، بازده یا ارزش نهایی سرمایه گذار در اختیار معامله‌های اروپایی و توأم با مانع را در حالت کلی بیان کنیم. اگر را قیمت توافقی و را قیمت دارایی پایه در زمان سررسید بدانیم، بازده حاصل از اختیار خرید اروپایی عبارت است از:

رابطه‌ی بالا، این واقعیت را نشان ‌می‌دهد که اگر باشد، اختیار معامله اعمال نخواهد شد و در غیر این صورت، یعنی اگر باشد، اختیار معامله اعمال خواهد شد. به همین منوال بازده سرمایه گذاری در قرارداد اختیار فروش اروپایی به صورت زیر می‌باشد:

در فصل اول اختیار معاملات توأم با مانع نیز تعریف شد، حال بازده سرمایه گذاری در این نوع اختیار معاملات به زیر است:

اگر زمان سررسید قرارداد باشد، فرایندهای ماکزیمم و مینیمم را به صورت زیر تعریف می‌شود:

بازده‌ی حاصل از اختیار خرید به صورت زیر است:

رابطه‌ی بالا، این واقعیت را نشان می‌دهد که اگر ماکزیمم قیمت دارایی بنیادین به سطح مشخص رسید، اختیار معامله بی ارزش می‌شود و نمی‌توان آن را اعمال کرد و در غیر این صورت اگر ماکزیمم قیمت دارایی به سطح مشخص نرسد، اختیار معامله دارای ارزش است و می‌توان آن را اعمال کرد. در واقع همان اختیار خرید اروپایی رسمی است. به همین ترتیب بازده‌ی حاصل از اختیار فروش به صورت زیر است:

بازده‌ی حاصل از اختیار خرید به صورت زیر است:

این رابطه، نشان می‌دهد که اگر ماکزیمم قیمت دارایی به سطح معین برسد، اختیار معامله دارای ارزش می‌شود و می‌توان آن را اعمال کرد، در غیر این صورت اختیار معامله بی ارزش است. به همین صورت بازده‌ی حاصل از

اختیار فروش به صورت زیر است:

بازده‌ی حاصل از اختیار خرید به صورت زیر است:

این رابطه نشان می‌دهد که اگر مینیمم قیمت دارایی به سطح مشخص برسد، با ارزش می‌شود. در غیر این صورت نمی‌توان آن را اعمال کرد. به همین منوال بازده‌ی حاصل از اختیار فروش به صورت زیر است:

بازده‌ی حاصل از اختیار خرید به صورت زیر است:

رابطه‌ی بالا نشان می‌دهد که اگر مینیمم قیمت دارایی به سطح مشخص برسد، بی ارزش می‌شود و نمی‌توان آن را اعمال کرد و بازده‌ی حاصل از اختیار فروش به صورت زیر می‌شود:

می‌توان بازده‌ی اختیار معاملات توأم با مانع مضاعف را نیز به دست آورد. که در واقع جمع دو نوع از اختیار معاملات توأم با مانع منفرد است، که در بالا بازده‌ی آن ها را تعریف شده است.

برای مثال بازده‌ی دو نوع مشهور از اختیار معاملات توأم با مانع مضاعف به صورت زیر است: الف) بازده‌ی حاصل از جمع اختیارخرید بامانع و اختیارخرید با مانع به صورت زیر تعریف می‌شود:

اگر مانع های و برابر باشند، آن گاه بازده‌ی این اختیار معامله همان بازده‌ی اختیار خرید اروپایی رسمی است.

ب) بازده‌ی حاصل از جمع اختیار خرید بامانع و اختیار خرید با مانع به صورت زیر است:

اگر مانع های و برابر باشند، آن گاه بازده‌ی این اختیار معامله، همان بازده‌ی اختیار خرید اروپایی رسمی است.

۳-۱-۱ قضیه (رابطه‌ی برابری اختیار فروش و اختیار خرید^[۴۸]): فرض کنیم ارزش یک اختیار خرید اروپایی و ارزش یک اختیار فروش اروپایی باشند. دو سبد سرمایه‌‌ی زیر را در نظر می‌گیریم: سبد سرمایه‌ی (الف) شامل یک اختیار خرید اروپایی به علاوه‌ی مبلغ دلار (که در آن قیمت توافقی و زمان سررسید اختیار خرید هستند.) و سبد سرمایه‌ی (ب) که شامل یک اختیار فروش اروپایی به علاوه‌ی یک سهام است. هر دو سبد سرمایه‌ی فوق در زمان ، دارای ارزش معادل زیر خواهند بود:
با توجه به این که هر دو اختیار، اروپایی‌اند و نمی‌توان آنها را قبل از تاریخ سررسید به اجرا گذاشت، پس در حال حاضر نیز این دو سبد سرمایه ارزش‌های یکسانی دارند، یعنی این که:
به این رابطه، اصطلاحاً «رابطه‌ی برابری اختیار فروش و اختیار خرید» می‌گویند[۳۶و۴۸]. رابطه‌ی فوق نشان ‌می‌دهد که می‌توان قیمت یک اختیار خرید اروپایی با قیمت توافقی و سررسید معین را از قیمت یک اختیار فروش اروپایی با همان قیمت توافقی و همان سررسید به دست آورد و بر عکس. اگر رابطه‌ی بالا برقرار نباشد، فرصت‌های آربیتراژی^[۴۹] ایجاد خواهد شد. (اگر در جریان یک معامله بتوان بدون گذاشتن سرمایه با احتمال مثبت پولی را به دست آورد و با احتمال صفر ضرری متحمل شد، در این صورت می‌گویند که در این معامله فرصت آربیتراژ وجود دارد[۴۹].)

۳ ارزش گذاری اختیار معامله لوییس بشیلیه^[۵۰] در پاریس هنگام مطالعه‌ی رفتار پویای بازار بورس پاریس در سال ۱۹۰۰، الگویی برای حرکت سهام ارائه داد. به همین علت بسیاری، بشیلیه را بنیان گذار ریاضیات مالی می‌دانند. در واقع بشیلیه مدل سهام را به صورت زیر بیان کرد:

یک حرکت براونی با میانگین صفر و واریانس یک ، نوسان پذیری قیمت سهام و قیمت اولیه‌ی سهام می‌باشند.[۱۰و۱۱]

پاول ساموئلسن^[۵۱] نشان داد، که الگوی مناسب برای تغییرات قیمت کالاها در بازار بورس آن چیزی است که امروز، حرکت براونی هندسی نام دارد. ساموئلسون شرح می‌دهد که الگوی بشیلیه از تضمین مثبت بودن قیمت کالاها قاصر است و به ناسازگاری آشکار با اصول اقتصادی منجر می‌شود، در حالی که حرکت براونی هندسی با چنین دردسرهایی مواجه نیست[۳۷و۴۶]. این مدل به صورت زیر است:

که حرکت براونی با میانگین صفر و واریانس یک، نرخ بازده مورد انتظار سهام و نوسان پذیری قیمت سهام می‌باشند. یعنی دارای توزیع لگاریتم نرمال است. به کمک حساب دیفرانسیل ایتو ثابت می‌شود [۴۳و۴۹] که این در واقع جواب معادله‌ی دیفرانسیل تصادفی

می‌باشد.

۳-۲-۱ مفروضات مدل- بلک- شولز: مفروضات اصلی مدل ارائه شده توسط بلک- شولز جهت قیمت گذاری اختیار معامله عبارتند از: ۱) رفتار قیمت سهام با مدل تابع لگاریتم نرمال( میانگین وانحراف معیار) مطابقت دارد. (در واقع حرکت براونی هندسی). ۲) هیچ گونه هزینه‌ی معاملاتی یا مالیاتی وجود ندارد. ۳) سهام مورد نظر در طول عمر اختیار معامله‌ی آن سود پرداخت نمی‌کند. ۴) هیچ گونه فرصت آربیتراژی وجود ندارد. ۵) معاملات اوراق بهادار در هر زمانی امکان پذیر می‌باشد. ۶) سرمایه گذاران می‌توانند با نرخ یکسانی (نرخ بهره‌ی بدون ریسک) وام بگیرند یا وام بدهند. ۷) نرخ بهره‌ی بدون ریسک کوتاه مدت ، ثابت است.[۳۶]

۳-۲-۲ فرمول‌های قیمت گذاری(ارزش گذاری تحت حرکت براونی): اگر یک دارایی کم خطر (شاید بدون ریسک) و ارزش اولیه‌ی این دارایی باشد با توجه به نرخ بهره‌ی مرکب ارزش این دارایی در زمان برابر است با
این یک فرایند معین است. همچنین اگر یک دارایی توأم با ریسک داشته باشیم(در واقع یک سهم داریم)، ، که به وسیله‌ی حرکت براونی زیر مدل شده است:
که یک حرکت براونی استاندارد، نوسان پذیری سهم و بازده‌ی مورد نظر انتظار سهم هستند. به طور کلی برای پوشش ریسک موجود در سرمایه گذاری ناچاریم یک استراتژی را در نظر بگیریم و برای این منظور در زمان به اندازه‌ی از بورس (دارایی توأم با ریسک) و به اندازه‌ی از دارایی بدون ریسک را در سبد سرمایه برای پوشش ریسک قرار می‌دهیم. یعنی در لحظه‌ی ‌ ارزش سبد سرمایه عبارت است از:
در اینجا هدف پیدا کردن دستوری (احتمالاً صریح) برای تابع است. با بهره گرفتن از دیفرانسیل تصادفی ایتو به معادله‌ی زیر خواهیم رسید[۴۱]:
که به معادله‌ی بلک- شولز معروف است. در نظریه‌ی معادلات با مشتقات جزئی می‌دانیم که با داشتن شرایط مرزی متفاوت جواب‌های متفاوت برای معادله ی بالا به دست می‌آید. برای معادله‌ی بالا هر شرط مرزی بیان کننده‌ی یک مشتق مالی است و جواب تحت آن شرط ارزش مشتق مالی را در هر لحظه ارائه می‌دهد. بنابراین اگر تابع جبرانیه‌ی یک اختیار معامله باشد، آن گاه با حل معادله‌ی بلک- شولز و شرط مرزی ارزش این اختیار معامله به دست می‌آید. ارزش اختیار خرید اروپایی با تابع جبرانیه‌ی با بهره گرفتن از معادله‌ی بلک‌-شولز به صورت زیر به دست می‌آید [۴۱] :
که در آن
منظور از تابع توزیع تجمعی نرمال استاندارد است. به همین ترتیب ارزش اختیار فروش اروپایی به صورت زیر است[۴۱]:
به همین منوال ارزش اختیار معاملات توأم با مانع به صورت زیر به دست می آید [۴۱]: اگر مانع ،

اگر ،

که در معادلات بالا

۳-۲-۳ ارزش گذاری نسبت به اندازه ی ریسک-خنثی: یکی از نتایج مهم در قیمت گذاری اختیارمعاملات بر روی سهام «ارزش گذاری نسبت به اندازه ی ریسک-خنثی» می باشد. می‌توان آن را به صورت زیر بیان کرد: «ارزش گذاری اوراق مشتقه صادره بر روی اوراق بهادار پایه مبتنی بر این فرض است که سرمایه گذاران نسبت به ریسک بی تفاوتند.»[۳۶]

اصل فوق بیان نمی‌کند که سرمایه گذاران بی تفاوت به ریسک هستند. آن چه که این اصل می‌گوید این است که مشتقاتی همچون اختیار معامله را با این فرض می‌توان ارزش گذاری کرد که سرمایه گذاران نسبت به ریسک بی تفاوتند. به بیان دقیق تر، ترجیحات مربوط به ریسک سرمایه گذاران در ارزش اختیار معامله‌ی سهام، که به صورت تابعی از قیمت دارایی پایه است، تأثیری ندارد و به همین دلیل است که در معادله‌ی بلک- شولز از بازده‌ی مورد انتظار سهام یعنی استفاده نمی‌شود. فرض ارزش گذاری نسبت به اندازه ی ریسک-خنثی، یک ابزار قوی برای به دست آوردن قیمت مشتقات است. زیرا زمانی که از جهان بی تفاوت نسبت به ریسک به دنیای ریسک گریزی وارد می‌شویم، دو نتیجه‌ی مهم به دست می‌آید:

1. نرخ بازده‌ی مورد انتظار اوراق بهادار مساوی نرخ بهره‌ی بدون ریسک می‌شود.
2. نرخ مناسب تنزیل به کار برده شده جهت هر گونه پرداختن در آینده ،معادل نرخ بهره‌ی بدون ریسک می‌شود.[۳۶]

می‌توان اختیار معاملات و سایر مشتقات را که نرخ بازده‌ی معینی در یک دوره‌ی زمانی خاص دارند، با بهره گرفتن از فرض « ارزش گذاری نسبت به اندازه ی ریسک-خنثی» به ترتیب زیر قیمت گذاری کرد:

1. نرخ بازده‌ی مورد انتظار دارایی پایه را نرخ بهره‌ی بدون ریسک، فرض کرد. (یعنی ).
2. ارزش اختیار معامله یا عایدی مورد انتظار اختیار معامله در زمان سررسید را محاسبه کرد.‌
3. بازده‌ی مورد انتظار فوق را با نرخ بهره‌ی بدون ریسک تنزیل داد.[۳۶]

حال اگر یک فضای احتمال باشد و همچنین یک فیلتراسیون طبیعی تولید شده توسط حرکت براونی {} باشد.

۳-۲-۴ قضیه(فیمن-کاک): معادله‌ی دیفرانسیل زیر را در نظر می‌گیریم:

اگر یک جواب این معادله، با شرط مرزی زیر باشد
آن گاه را می‌توان به صورت زیر بیان کرد:
در جایی که یک فرایند تصادفی است و در معادله‌ی دیفرانسیل زیر با شرط اولیه‌ی صدق می‌کند:
[۱۶]. ۳-۲-۵ نتیجه: اگر معادله‌ی(۶) با معادله‌ی بلک- شولز جایگزین شود و همچنین تابع تابع جبرانیه‌ی اختیار

معامله باشد، آن گاه

این امید تنزیل یافته، تحت اندازه احتمال (پیوست الف-۳)، مارتینگل است و بنابراین اصل «ارزش گذاری نسبت به اندازه ی ریسک-خنثی» صادق است. به اندازه احتمال اندازه‌ی ریسک- خنثی گفته می‌شود. [۱۶]

۳-۲-۶ قضیه (اولین قضیه‌ی اساسی ارزش گذاری دارایی): اگر در بازار فرصت آربیتراژ وجود نداشته باشد، اندازه‌ی احتمالی مانند ، معادل با (اندازه احتمال اصلی بازار) وجود دارد، به طوری که فرایند ارزش تنزیل یافته‌ی دارایی نسبت به آن مارتینگل است.[۸و۲۴] و (پیوست الف-۳).

۳-۳ ارزش گذاری اختیار معاملات تحت فرایندهای لوی نمایی بدون شک در کهکشان فرایندهای تصادفی استفاده شده برای نوسانات مدل سهام، حرکت براونی درخشان‌ترین ستاره است. اما آیا توزیع احتمالات «لگاریتم قیمت‌های دارایی» واقعاً به صورت نرمال است؟ قیمت‌های بازار قراردادهای اختیار معامله تا چه حد به قیمت‌های پیش بینی شده با بهره گرفتن از مدل بلک- شولز نزدیک هستند؟ آیا واقعاً معامله گران هنگام تعیین قیمت قرارداد اختیار معامله از مدل بلک- شولز استفاده می‌کنند؟ چه تحقیقاتی در زمینه‌ی آزمون اعتبار و روایی فرمول بلک- شولز انجام شده است؟

شکل (۳-۱) را در نظر بگیرید:

شکل(۳-۱)- قیمت لگاریتمی سهام شرکت ، از بورس بین ژانویه ی ۱۹۹۳ و دسامبر ۱۹۹۶ و مقایسه ی آن با یک مسیر نمونه ای از حرکت براونی با تلاطم وبازدهی یکسان. آیا قابل تشخیص هستند؟[۲۴]

یکی از نمودارهای در این شکل، قیمت سهام را برای شرکت ، از بورس بین ژانویه‌ی ۱۹۹۳ و دسامبر ۱۹۹۶ نشان می‌دهد و نمودار دیگر، یک مسیر نمونه‌ای از یک حرکت براونی با میانگین نوسانات مشابه همان دوره را نشان می‌دهد. همان طور که دیده می‌شود، قیمت سهام شبیه مسیر نمونه‌ای حرکت براونی است. در واقع نمی‌توان دو نمودار را از یکدیگر تمیز داد.

یکی از خاصیت های مهم حرکت براونی، پیوستگی مسیرهای نمونه‌ای آن است. یا به عبارت دیگر یک مسیر نمونه‌ای ، یک تابع پیوسته از زمان است. حال یک دوره ی زمانی کوچکتر از دو نمودار در شکل(۳-۱) را در نظر بگیریم. شکل(۳-۲) این فرم را برای یک دوره‌ی ۳ ماهه نشان می‌دهد.

شکل (۳-۲)- قیمت لگاریتمی سهام شرکت ، از بورس بین ژانویه ی تا مارس ۱۹۹۳ و مقایسه ی آن با یک مسیر نمونه ای از حرکت براونی با تلاطم و بازدهی یکسان.[۲۴]

با بهره گرفتن از خاصیت پیوستگی مسیرهای نمونه‌ای حرکت براونی، می‌توان قیمت سهام و مسیر نمونه‌ای حرکت براونی را در شکل (۳-۲) تشخیص داد. در واقع قیمت سهام دارای چندین پرش ناگهانی است. در بررسی رفتار قیمت سهام، تحلیل گران در بیشتر مواقع بازه‌ی زمانی را روزانه یا به صورت هفتگی در نظر می‌گیرند. پس می‌توان گفت که مدل قیمت سهام از یک الگوی حرکت براونی تبعیت نمی‌کند. البته در مدل بلک- شولز نوسانات آنی^[۵۲] می‌توانند بر روی قیمت سهام موثر باشند که می‌توان این نوسانات را به وسیله‌ی یک تابع تلاطم موضعی^[۵۳] به دست آورد. مطالعات تجربی نشان داده‌اند که ضریب شدت تغییرات تصادفی (تلاطم()) ثابت نیست. بر این اساس، عده‌ای از محققین مدل‌های آنالیز تصادفی را برای بررسی تغییرات این کمیت پیشنهاد کرده‌اند که در آن ها به جای در مدل بلک- شولز یک فرایند تصادفی قرار می‌گیرد.

در واقع مدل زیر توسط دوپایر^[۵۴][۳۳]، درمان و کانی^[۵۵][۳۰] برای قیمت سهام پیشنهاد شده است:

همان طور که گفته شد، می‌توان (تلاطم ضمنی) را با فرایندهای تصادفی گوناگون جایگزین کرد. برای جزئیات بیشتر به فصل ۱۵ [۲۴] مراجعه شود.

مدل های تجربی نشان می‌دهند که قیمت سهام یا بازدهی آن ها دارای پرش و ناپیوسته هستند و همچنین مشاهده رفتار آماری قیمت‌های سهام به صورت توزیع‌های دارای دم‌های سنگین است. لذا پیشنهاد شد که حرکت براونی با یک فرایند لوی کلی‌تر جایگزین شود. در واقع ژمن^[۵۶]، مدان^[۵۷] و یور^[۵۸] [۱۹] این مطلب را چنین توجیه کرده‌اند که این جایگزینی طبیعی است از این جهت که، با توجه به تجزیه‌ی لوی-ایتو، جمله‌ی ، متناظر با «پرش های کوچک»، توصیف کننده‌ی تغییرات و تلاطم‌های کوچک روزانه در قیمت سهام است، در حالی که جمله‌ی  متناظر با «پرش های بزرگ» ، الگویی برای آثار حوادث شدید اجتماعی، سیاسی و اقتصادی بر بازارهای مالی است. با کنار گذاردن حرکت براونی، گستره‌ی وسیعی از فرایندهای لوی وجود دارند که از بین آن ها می‌‌توان مدلی را انتخاب کرد. این انتخاب باید مناسب و به صورتی انجام گیرد که ما را قادر به استخراج فرمول‌هایی کند که تحلیل گران بازارهای مالی بتوانند آن ها را برای محاسبه‌ی قیمت سهام به کار برند.

۳-۳-۱ مدل های لوی نمایی همان طور که در بخش ۳-۲ بیان شد، در مدل بلک-شولز، فرایند قیمت سهام به صورت زیر است:
که می تواند به صورت معادل زیر نوشته شود:
در قسمت قبل مشاهده شد، مطالعات تجربی، مدل قیمت سهام از یک حرکت براونی تبعیت نمی کند. بنابراین می توان به جای حرکت براونی از یک فرایند لوی استفاده کرد. پس به جای معادله ی (۷) می توان از معادله ی دیفرانسیل تصادفی^[۵۹] زیر استفاده کرد:

یا این که از نمای معمولی^[۶۰]

استفاده کرد. نماد برای معادله ی دیفرانسیل تصادفی و نماد برای نمای معمولی به کار گرفته شده اند. علت انجام این عمل، این است که بر خلاف حرکت براونی با هم تفاوت دارند. حال اگر فرایندهای (۸) و (۹)، با فرایند تنزیل داده شوند (یا به طور معادل ) داریم:

با بهره گرفتن از دیفرانسیل تصادفی ایتو (پیوست الف-۳)، جواب معادله ی (۱۰) با شرط اولیه ی ، به صورت زیر به دست می آید (قضیه ی ۸٫۲۱ [۲۴]):
معادله ی بالا نمای تصادفی^[۶۱] نامیده می شود. با اعمال شرط جواب معادله ی بالا مثبت می شود (زیرا قیمت سهام نمی تواند منفی باشد) بنابراین با اعمال این شرط معادلات (۱۰) و (۱۱) معادل هستند (فصل ۸ [۲۴]).

برای ارزش گذاری اختیارمعاملات تحت مدل های لوی نمایی، بایستی اصل «ارزش گذاری نسبت به اندازه ی ریسک-خنثی » را رعایت کرد. پس در این قسمت به دنبال پیدا کردن اندازه ی ریسک-خنثی می باشیم به طوری که امید تنزیل یافته ی تابع جبرانیه، تحت این اندازه، مارتینگل شود.

۳-۳-۲ تعریف(بازار کامل^[۶۲]): یک بازار «کامل» نامیده می شود، هرگاه هر مشتق مالی بتواند با معامله روی دارایی بنیادین(پایه) مربوط به مشتق مالی و سپرده گذاری در بازار پول، بدون این که تا زمان سررسید قرارداد نیازی به تزریق سرمایه از بیرون باشد، جبران شود.[۸و۲۴]

در یک بازار کامل هر مشتق مالی دارای ارزش منحصربه فردی است که وجود آربیتراژ را نفی می کند.(قضیه ۳-۲-۶)

۳-۳-۳ قضیه(دومین قضیه ی اساسی ارزش گذاری دارایی): یک بازار بدون آربیتراژ کامل است، اگر وتنها اگر، یک اندازه ی احتمال منحصر به فرد ، معادل با (اندازه احتمال اصلی بازار) وجود داشته باشد به طوری که فرایند ارزش تنزیل یافته ی دارایی نسبت به آن مارتینگل باشد.[۸و۲۴] و(پیوست الف)

۳-۳-۴ تعریف(بازار ناکامل^[۶۳]): اگر وجود داشته باشد، اما منحصر به فرد نباشد، بازار «ناکامل» نامیده می شود.[۸و۲۴]

برای ارزش گذاری مشتقات مالی (اختیارمعاملات) نیاز به اندازه ی مارتینگل داریم. وقتی که بازار کامل باشد، این اندازه منحصر به فرد و برای هر مشتق مالی یک ارزش منحصربه فرد به دست می آید. این اندازه ی مارتینگل، برای دو فرایند پواسون و براونی منحصر به فرد است، یعنی بازار در این دو حالت کامل است.[۸]. اما در سایر فرایندهای لوی ثابت می شود (فصل ۸ [۲۴]) بازار ناکامل است، بنابراین این اندازه منحصر به فرد نیست. پس هر سرمایه گذار می تواند بر اساس معیارهای خود، این اندازه را پیدا کند و ارزش مشتق مالی را بر اساس آن به دست آورد. یعنی هر سرمایه گذار بسته به معیار خود حاضر است بهایی را برای یک مشتق مالی خاص بپردازد، که می تواند با ارزش مورد انتخاب سرمایه گذاران دیگر متفاوت باشد. در ادامه چند روش متفاوت را برای به دست آوردن این اندازه بیان می کنیم، که برای جزئیات بیشتر می توان به(فصول ۹و۱۰ [۲۴]) و (پیوست الف -۳) مراجعه کرد:

۱) اندازه ی مینیمال فولمر-اسشویزر^[۶۴] [۲۴]

۲) تبدیل اشر^[۶۵] [۲۴]

۳) بیشینه کردن مطلوبیت^[۶۶] [۲۴].

۳-۳-۵ ارزش گذاری اختیارمعامله: فضای احتمال را در نظر می گیریم که در آن حرکت ارزش یک دارایی، ،دارای مدل لوی نمایی است:
جایی که یک فرایند لوی با سه تایی مشخصه ی () است. بنابر قسمت قبل، اگر هیچ فرصت آربیتراژی وجود نداشته باشد، آن گاه اندازه ی مارتینگل، ، معادل با اندازه احتمال (اندازه ی احتمال اصلی بازار) وجود دارد، به طوری که فرایند تنزیل یافته ی تحت این اندازه (اندازه ی ریسک-خنثی) مارتینگل است.طبق قضیه ی ۲-۳-۱ این معادل است با

که

با توجه به ۳-۲-۳ ، ارزش اختیار معامله برابر است با امید شرطی تنزیل یافته از تابع جبرانی آن اختیار معامله، تحت اندازه ی ریسک-خنثی . اگر تابع جبرانیه ی اختیار معامله باشد، آن گاه ارزش این اختیار معامله برابر است با:
با بهره گرفتن از قضیه ی ۲-۲-۲ داریم:
با تغییر متغیر و و تعریف و داریم

با توجه به خاصیت (۲) فرایند های لوی و قاعده ی ۳ امید شرطی داریم:

با بهره گرفتن از تعریف ، وجایگزین کردن با داریم:

اگر تعریف کنیم ، آن گاه

اگر در دامنه ی مولد بی نهایت کوچک باشد یا به عبارت دیگر مشتقات اول و دوم موجود و پیوسته باشند، آن گاه با بهره گرفتن از نتیجه ی ۲-۲-۱۱ می توان نسبت به مشتق گرفت، بنابراین

که درآن

امّا باید توجه کرد که معمولاً تابع جبرانیه ی در دامنه ی مولد بی نهایت قرار ندارد(یعنی این که مشتقات اول و دوم وجود ندارند) برای مثال تابع جبرانیه ی اختیار فروش را در نظر می گیریم ( در آن قیمت ضربه ای است):

تابع بالا دیفرانسیل پذیر نیست، امّا تحت شرایطی اختیار معاملات اروپایی و با مانع را می توان به صورت معادله ی انتگرو دیفرانسیل جزئی بیان کرد. در قسمت بعد به این موضوع خواهیم پرداخت.

یک اختیار معامله ی اروپایی را با زمان سررسید و تابع جبرانیه ی ، در نظر می گیریم. اگر تابع جبرانیه ی در شرط لیپشیتز صدق کند، یعنی برای یک :

و ارزش این اختیارمعامله باشد، که

۳-۳-۶ قضیه (ارزش اختیار معاملات اروپایی به صورت یک ) : اگر باشد که در آن یک فرایند لوی است و همچنین در شرط زیر صدق کند:

و

یا

آن گاه ارزش اختیار معامله ی روی پیوسته است و روی، است و همچنیندر معادله ی

با شرط
صدق می کند.[۲۴]

تذکر: شرط (۱۷) یا (۱۸) همواری ارزش اختیار معامله را نسبت به دارایی پایه (بنیادین)،تضمین می کند.

۳-۳-۷ نتیجه: تحت شرط های (۱۷)، (۱۸)و (۱۹) و تعریف ، ، و تابع ، روی پیوسته است و همچنین روی ، می باشد و در معادله ی

با شرط اولیه ی ، به ازای هر ، صدق می کند. [۲۴]

۳-۳-۸ اختیار معاملات توأم با مانع و ارتباط آنها با : یک اختیار معامله ی را با زمان سررسید در نظر می گیریم. فرض کنیم قیمت ضربه ای و مانع (سطح مشخص) آن باشند. تابع جبرانیه ی آن به صورت زیر است:
ارزش این اختیار معامله، در زمان برابر است با ارزش تنزیل یافته ی تابع جبرانیه:

۳-۳-۹ گزاره: مارتینگل است. اثبات: بایستی ثابت کرد اگر ، آن گاه با توجه به (۲۰) داریم

با بهره گرفتن از قاعده ی ۶ امید شرطی اثبات کامل می شود.

اولین زمان خروج فرایند از بازه ی را به صورت زیر تعریف می کنیم:
و همچنین تعریف می کنیم:
که در آن

با توجه خاصیت قوی مارکوف، تعریف بالا به صورت زیر در می آید:

و قبل از آن که مانع قطع شود با هم برابر هستند:
در حالتی که باشد، داریم

فرض کنیم تابع در قرار دارد، یا به عبارت دیگر به اندازه ی کافی (یک مرتبه روی و دو مرتبه روی )هموار است. فرض کنیم باشد. با توجه به فرمول ایتو(فصل ۸ [۲۴]):

که در آن

در اینجا ، مولد بی نهایت کوچک تابع می باشد:

تابع مارتینگل است. زیرا با توجه به تعریف (۲۱) داریم.
و طبق گزاره ی ۳-۳-۹ نتیجه می گیریم که مارتینگل است. بنابراین باید بخش رانش (۲۲)برابر با صفر باشد یعنی:
که نتیجه می شود، با احتمال ۱ روی
پس، با احتمال ۱ داریم
امّا باید توجه داشت که تابع هموار نمی باشد، وجود همواری در فضاهای خاص امکان پذیر است که بنسوزان^[۶۷] [۱۴] به آن پرداخته است. پس اگر هموار باشد، قضیه ی زیر را برقرار است.

۳-۳-۱۰ قضیه: فرض کنیم ارزش اختیار معامله ی در یک مدل لوی نمایی با ضریب پخشی (تلاطم) و اندازه ی لوی باشد، آن گاه با بهره گرفتن از تغییر متغیر لگاریتمی

داریم

۳-۴ جواب های کلاسیک^[۶۸] و ویسکوزیته^[۶۹]

همان طور که در بخش قبل گفته شد، تحت یک شرایط خاص، معادلات برای اختیار معاملات اروپایی و توأم بامانع دارای جواب می باشند. امّا از آن جایی که تابع جبرانیه ی این نوع اختیار معاملات در دامنه ی تعریف صدق نمی کنند(همواری تابع جبرانیه ، یک مرتبه روی و دو مرتبه روی ) نیاز به تعریف فضای تابعی داریم، که این همواری برقرار باشد.در فضای تابعی خاص وجود و یکتایی جواب برای در نظر گرفته شده است، که می توان به ]۱۴و۳۴[ مراجعه کرد. این گونه جواب ها را جواب های کلاسیک می نامند. که به صورت دقیق تر می توان تعریف زیر را بیان کرد:

۳-۴-۱ تعریف(جواب های کلاسیک ): تابع هموار را یک جواب کلاسیک از مسأله ی ارزش گذاری اختیار معاملات گویند هرگاه مشتق آن نسبت به ، پیوسته و متعلق به دامنه ی تعریف، برای هر باشد و همچنین در شرط کرانداری مسأله ی و معادله ی
صدق کند.[۲۴]

در معادله ی ارزش گذاری ، پیدا کردن یک جواب کلاسیک ساده نیست و نیاز به فضای تابعی خاص داریم. در واقع این فضا باید به گونه ای باشد که جواب کلاسیک در دامنه ی قرار گیرد. در قسمت بعد یک نوع جواب های جدید را معرفی خواهیم کرد. این جواب ها فقط نیاز به پیوستگی دارند. که به آنها جواب های ویسکوزیته می گویند.

در ابتدا یک جواب هموار، معادله ی
را در نظر می گیریم که این جواب متعلق به است و همچنین تابع هموار را نیز در نظر می گیریم که

اگر یک نقطه ی ماکزیمم سراسری تابع باشد، یعنی
به دلیل این که یک نقطه ی ماکزیمم سراسری است پس

با توجه (۲۴)، (۲۵)، (۲۶)و جایگذاری در :

به طور مشابه ، اگر یک نقطه ی مینیمم سراسری تابع باشد، آن گاه داریم:
اگر معادلات (۲۷) و (۲۸) برای همه ی تابع های برقرار باشند و با توجه به این که در اصل ماکزیمم صدق می کند، به دست می آوریم:

همان طور که در (۲۷) و (۲۸) مشاهده شد، از مشتقات استفاده کردیم در صورتی که از مشتقات استفاده نشد و فقط پیوستگی آن لازم بود. این عقیده به مفهوم جواب های ویسکوزیته منجر شد و توسط کراندال^[۷۰] و لیونز^[۷۱] معرفی گردید[۲۸]. در ادامه به یک سری تعاریف مقدماتی برای تعریف مناسب جواب ویسکوزیته نیاز داریم ، که به آن خواهیم پرداخت. ۳-۴-۲ تعریف(تابع نیمه پیوسته ی بالا^[۷۲]): یک تابع به طور موضعی کراندار را نیمه پیوسته ی بالا گویند، اگر [۲۴].

۳-۴-۳ تعریف(تابع نیمه پیوسته ی پایین^[۷۳]): یک تابع به طور موضعی کراندار را نیمه پیوسته ی پایین گویند، اگر [۲۴].

۳-۴-۴ گزاره : اگر تابع هم نیمه پیوسته ی بالا و هم نیمه پیوسته ی پایین باشد، آن گاه پیوسته است.[۲۴]

۳-۴-۵ تعریف: کلاس توابع نیمه پیوسته ی بالا(متناظراً نیمه پیوسته ی پایین ) را با (متناظراً ) نمایش می دهند.[۲۴]

۳-۴-۶ تعریف: را مجموعه ای از توابع اندازه پذیر روی ، با چند جمله ای رشد از درجه در + ، و کراندار روی، می نامند. یا به عبارت دیگر
[۲۴].

می توان را برای به صورت

تعریف کرد، وقتی که . اولین عبارت انتگرالی در معادله ی (۳۰)، برای خوش تعریف است، زیرا برای ،

و اگر برای ،
باشد، آن گاه دومین عبارت انتگرالی در (۳۰) نیز خوش تعریف است و همچنین اپراتور برای هر خوش تعریف است. در واقع برای تعریف جواب ویسکوزیته نیاز به خوش تعریف بودن است که در بالا به آن اشاره شد و این معادل است با همواری (خوش تعریف بودن آن شرایط کافی را روی ارائه می دهد: ). شرط (۳۱)معادل است، با وجود گشتاور مرتبه -ام فرایند لوی که در این جا را برابر با ۲ در نظر می گیریم.

۳-۴-۷ تعریف (مسأله ی ارزش گذاری کراندار به صورت ): مسأله ی ارزش گذاری با شرایط اولیه و کرانداری را روی به صورت زیر تعریف می کنند:

که یک بازه ی باز ( کران های بازه ی می باشند ) و یک تابع پیوسته و می باشند[۲۴].

۳-۴-۸ تعریف(زیر جواب ویسکوزیته^[۷۴]): تابع را یک زیر جواب ویسکوزیته ، از مسأله ی ارزش گذاری در تعریف ۳-۴-۷ گویند ، اگر برای هر و هر نقطه ی ماکزیمم سراسری از تابع ، در شرایط زیر صدق کند: اگر

[۲۴].

۳-۴-۹ تعریف(زبر جواب ویسکوزیته^[۷۵]): تابع را یک زبر جواب ویسکوزیته ، از مسأله ی ارزش گذاری در تعریف ۳-۴-۷ گویند ، اگر برای هر و هر نقطه ی مینیمم سراسری از تابع ، در شرایط زیر صدق کند: اگر

[۲۴].

۳-۴-۱۰ تعریف (جواب ویسکوزیته): تابع را یک جواب ویسکوزیته گویند، اگر هم یک زیر جواب ویسکوزیته و هم یک زبر جواب ویسکوزیته باشد.[۲۴]

۳-۴-۱۱ گزاره: اگر یک جواب ویسکوزیته باشد ، آن گاه روی پیوسته است.[۲۴]

می توان وجود و یکتایی جواب های ویسکوزیته را در [۱۲]، برای مسأله ی ارزش گذاری، جستجو کرد. در واقع یکی از ابزارهای اصلی برای نشان دادن یکتایی این گونه جواب ها اصل مقایسه ای^[۷۶] است یا به طور معادل اگر و جواب های ویسکوزیته باشند و ، آن گاه برای همه ی ،

۳-۴-۱۲ قضیه (اصل مقایسه ای برای جواب های نیمه پیوسته): گیریم یک زیر حل و یک زبر حل از مسأله ی ارزش گذاری تعریف ۷-۴-۳ باشند و همچنین یک تابع پیوسته باشد، آن گاه
[۲۴]. در ادبیات مالی ، اصول مقایسه به راحتی به نامساوی آربیتراز برگردانده می شوند : اگر جبرانی نهایی یک اختیار معامله ی اروپایی ، جبرانی نهایی اختیار معامله ی اروپای دیگری را در تسلط خود داشته باشد، در این صورت ارزش آن ها باید در همان نامساوی (نامساوی آربیتراژ) صدق کند.[۲۴]

در ادامه به ذکر یک قضیه خواهیم پرداخت که ارزش های اختیار معامله های اروپایی و توأم با مانع را می توان به صورت جواب های ویسکوزیته از مسأله ی ارزش گذاری تعریف ۳-۴-۷، بیان کرد .

۳-۴-۱۳ قضیه(ارزش گذاری اختیار معاملات به عنوان جواب های ویسکوزیته): گیریم تابع جبرانیه ی در شرط لیپشیتز صدق کند:
و همچنین اگر ، که در شرط صدق می کند، الف) ارزش روبه جلو^[۷۷] یک اختیار معامله ی اروپایی تعریف شده در (۱۵) ، یک جواب ویسکوزیتهی منحصربه فرد از مسأله ی کوشی

است. ب) اگر ارزش رو به جلو از یک اختیار معامله ی توأم بامانع (منفرد یا مضاعف) تعریف شده در (۲۳)، پیوسته باشد، آن گاه یک جواب ویسکوزیته ی منحصر به فرد از مسأله ی ارزش گذاری تعریف ۳-۴-۷ می باشد .

اثبات:[۲۷].

فصل چهارم

حل معادلات با بهره گرفتن از روش های تفاضل متناهی

همان طور که در بخش قبل گفته شد ، خاصیت مارکوف این اجازه را به ما می‌دهد، که ارزش اختیار معاملات اروپایی و توأم بامانع را به صورت جواب های معادلات بیان کنیم. اخیراً مطالعات زیادی برای حل معادلات (برای مسأله‌های مشتقات مالی) صورت گرفته است که از جمله‌ی آن می‌توان به روش های عددی اشاره کرد، که در [۷و۳۱و۴۲و۵۲] به آن پرداخته شده است. در واقع در بسیاری از موارد، به صورت تحلیلی نمی‌توان مسأله‌ی را حل نمود. بنابراین مجبور هستیم به سراغ روش های عددی برویم. روش های عددی دارای گونه‌های مختلف می‌باشند. یکی از این روش ها، روش های تفاضل متناهی است که در [۷و۳۱و۵۱] پیشنهاد شده است. اما در این مقالات به تحلیل همگرایی، سازگاری و پایداری روش ارائه شده ، پرداخته نشده است. در این بخش به ارائه‌ یک روش تفاضل متناهی خواهیم پرداخت و همچنین همگرایی، سازگاری و پایداری این روش را نیز بررسی خواهیم کرد و در پایان یک نرخ همگرایی برای روش ارائه شده به دست خواهیم آورد.

۴-۱ روش های تفاضل متناهی برای معادلات : روش های تفاضل متناهی، روش های تقریبی برای معادلات دیفرانسیل جزئی هستند که اساس آنها با جایگزینی مشتقات جزئی با تفاضلات متناهی در معادله‌ی ارزش گذاری است. در معادلات یک عبارت انتگرالی نیز وجود دارد که می‌توان آن را با مجموع‌های ریمان تخمین زد. مسأله‌ی ارزش گذاری ، تعریف شده در ۳-۴-۷ را در نظر می‌گیریم:

که در آن

و به طوری که یا . در ساختار یک روش تفاضل متناهی برای معادلات سه مرحله ی اصلی وجود دارد:

۱٫موضعی سازی^[۷۸] اگر معادله ی روی یک دامنه ی بی کران باشد آن را با یک برش، به یک دامنه ی کراندار تبدیل می کنیم. در مساًله ی ارزش گذاری اختیار معاملات اروپایی که بایستی را با یک بازه ی کراندار برش دهیم اما در مساله ارزش گذاری اختیار معاملات توام بامانع شرایط کرانداری به طور طبیعی وجود دارد(یعنی خارج از بازه ی مورد نظر تابع جبرانیه صفر است) همچنین در عبارت انتگرالی معادله ی باید بازه ی انتگرال را برش داد(موضعی سازی کرد). که هر دوی این برش ها یا موضعی سازی منجر به یک خطا می شوند که با انتخاب مناسب برش می توان عبارت های در را تخمین و کنترل کرد.

۲٫تقریب پرش های کوچک^[۷۹] هنگامی که اندازه ی لوی (فرایند لوی) در صفر واگرا باشد یا به عبارت دیگر، فرایند لوی با فعالیت متناهی باشد می توان پرش های کوچک فرایند لوی را به وسیله ی یک حرکت براونی تقریب زد(بخش۲-۳).

۳٫گسسته سازی^[۸۰] برای حل معادلات ، بازه های پیوسته ی به حالت گسسته تبدیل می شوند در واقع یک شبکه ساخته می شود بدین صورت که: الف) گسسته سازی فضا: دامنه ی مکانی مسأله ی را با یک شبکه ی گسسته و اپراتور را با یک ماتریس جایگزین می کنند در واقع بردار

متناظر با نقاط شبکه است (معادل با جواب های مسأله ی) بنابراین
ب)گسسته سازی زمان: مشتق نسبت به زمان را با یک تفاضل متناهی جایگزین می کنند(برای این کار چندین انتخاب وجود دارد.).

حال هریک از موارد بالا را به طور مفصل تر بررسی خواهیم کرد.

۴-۱-۱ موضعی سازی به یک دامنه ی کراندار محاسبات عددی فقط روی دامنه های متناهی عمل می کنند، بنابراین در اولین گام برای حل مسأله ی ارزش گذاری ، دامنه ی آن را به یک دامنه ی کراندار کاهش می دهیم (در واقع دامنه را برش می دهیم.) در مسأله ی (۳۲) بازه ی را به یک بازه ی کراندار، ، برش می دهیم. همچنین فرض می کنیم جواب مسأله ی موضعی سازی شده باشد، پس مسأله ی در (۳۲) به صورت زیر تعریف می شود:

که در آن و یا هستند. موضعی سازی دامنه یا برش آن منجر به یک خطا می شود که در قضیه ی زیر آن را به دست خواهیم آورد. قبل از بیان قضیه نیاز به مقدماتی است که در ادامه به آن پرداخته می شود.

۴-۱-۲ تعریف: تابع روی زیرضربی است ، اگر و تنها اگر، نامنفی باشد و به طوری که
[۴۷].

۴-۱-۳ قضیه: اگر یک فرایند لوی روی باشد و
همچنین یک تابع پیوسته ی زیرضربی نامنفی روی باشد. اگر هنگامی که ، ، آن گاه چهار حالت زیر معادل اند: الف) برای حداقل یک ، . ب) برای هر ، . پ) برای حداقل یک ، . ت) برای هر ، . اثبات: (قضیه ی ۲۵٫۱۸ [۴۷]). ۴-۱-۴ قضیه(نامساوی چبیشف): اگر متغیری تصادفی و تابعی نامنفی با قلمرو اعداد حقیقی باشد ، آن گاه

۴-۱-۵ قضیه: اگر (تابع جبرانیه) کراندار باشد و
همچنین جواب مسأله ی (۳۲) و جواب (ویسکوزیته ی) مسأله ی(۳۳) باشند، آن گاه
که در آن ثابت ، به بستگی ندارد.

اثبات: تعریف می کنیم
بنا بر تعریف (فصل سوم) داریم
اگر باشد و با توجه به این که بایستی در بازه ی قرار گیرد، می توان نتیجه گرفت
حال اگر باشد و اولین زمان خروج از بازه ی به صورت
باشد،

برای اثبات دو حالت را باید اثبات کرد: الف)اگر باشد، با بهره گرفتن از(۳۵) و (۳۶) داریم

با توجه به تعریف امید ریاضی و خواص آن(فصل اول) ونامساوی جنسن
ب) اگر باشد، با بهره گرفتن از نامساوی مثلثی و جنسن

بنابراین در هر دو حالت الف وب
حال

با بهره گرفتن از (۳۹) و (۴۰)

بنابر قضیه ی چبیشف

اگر باشد، آن گاه یک تابع صعودی زیر ضربی است، پس طبق قضیه ی ۴-۱-۳ و (٣۴) نتیجه می گیریم:

با تعریف ،
بنابراین اثبات کامل است.

همان طور که می دانیم، جبرانیه ی اختیار فروش اروپایی به صورت
می باشد. بنابراین ، پس می توان قضیه ی قبل را برای این نوع اختیار معاملات به کار برد. اما یک اختیار خرید اروپایی در شرط کرانداری صدق نمی کند ولی با بهره گرفتن از رابطه برابری اختیار خرید و فروش (فصل ۳) داریم:

و با توجه به این که اختیار فروش در شرط کرانداری صدق می کند، برای یک اختیار خرید، خطای برش کوچکتر خواهد بود.

۴-۱-۶ نتیجه: تحت فرضیات قضیه ی ۵-۱-۴ ، برای هر زیر بازه ی بسته ی ، که ، خطای موضعی سازی با کم شدن اندازه ی دامنه کاهش می یابد:

اثبات: با توجه به فرض بنابراین . همچنین با بهره گرفتن از قضیه ی ۴-۱-۵

با انتخاب اثبات کامل است.

۴-۱-۷ تذکر: فرض (٣۴) در قضیه ی ۴-۱-۵ به این معنی است که، دم های بایستی به طورنمایی کاهشی باشند. با توجه به قضیه ی ۲-۳-۱، برای همه ی
پس می توان نتیجه گرفت که فرض (۳۴) ، یک شرط روی پرش های منفی است.

همان طور که گفته شد، برای حل عددی معادله ی باید بازه ی انتگرال را نیز برش دهیم (تبدیل به یک بازه ی کراندار شود) در فرایندهای پرشی ، این به معنی برش پرش های بزرگ است.

حال مسأله ی (۱۶) را در نظر می گیریم و همچنین فرض می کنیم تابع جبرانیه ی در شرط لیپشیتز صدق کند. بنابراین با توجه به (۱۴) جواب مسأله ی (۱۶) را به صورت زیر است:

که در آن یک فرایند لوی با سه تایی مشخصه ی است.

تجزیه ی لوی – ایتو فرایند را در نظر می گیریم و انتگرال متناظر با پرش های بزرگ را با بازه ی کراندار برش می دهیم. فرایند تصادفی جدید را می نامیم. که دارای سه تایی مشخصه ی
می باشد. را می توان به صورت های مختلف تعریف کرد. اما ما آن را به گونه ای در نظر می گیریم که مارتینگل باقی بماند (تحت اندازه ی ریسک خنثی ) بنابراین

۴-۱-۸ گزاره: ، مارتینگل است. اثبات: با بهره گرفتن از (۱۲) و قضیه ی ۱-۳-۲ اثبات محقق می شود.

حال بعد از برش انتگرال به یک بازه ی کراندار ، جواب مسأله ی جدید را به صورت زیر است:

برش انتگرال به صورت بالا، منجر به خطا می شود که در قضیه زیر به آن می پردازیم.

۴-۱-۹ قضیه: اگر که در شرط لیپشیتز صدق کند، ، و به طوری که

آن گاه

اثبات: تعریف می کنیم و همچنین فرض کنیم  ( عملگر تکین بودن) ، بنابراین

با بهره گرفتن از شرط لیپشیتیز و نامساوی جنسن نتیجه می گیریم:

حال ثابت می کنیم

برای اثبات دو حالت را در نظر می گیریم:

الف) اگر ، و از طرفی بنابراین در این حالت شرط (۴۳) برقرار است. ب) اگر ، و
پس در این حالت نیز شرط (۴۳) برقرار است.

با در نظر گرفتن و با توجه به این که داریم:

به دلیل این که مجموع دو فرایند لوی است(قضیه ی ۴٫۱ [۲۴])، بنابراین یک فرایند لوی با سه تایی مشخصه ی
است وقتی که
با قرار دادن که در آن ، یک فرایند لوی با سه تایی مشخصه ی

است و نیز یک فرایند لوی با سه تایی مشخصه ی
می باشد. بدون از دست دادن هیچ کلیتی می توان فرض کرد که، (در واقع برقراری رابطه (۴۲)به مقادیر و بستگی ندارد).

اگر تعریف کنیم ، آن گاه ، زیرا دارای بخش رانش نامنفی ، بدون مولفه ی براونی ، و فقط دارای پرش های مثبت کران دار از پایین به وسیله ی ، است و همچنین فقط دارای پرش های منفی کران دار از بالا به وسیله ی و بخش رانش نامثبت است. پس ، بنابراین
با توجه به قضیه ی (۳٫۱۳ [۲۴])

با توجه به این که

در نتیجه

با بهره گرفتن از فرضیات روی ، به دست می آوریم

بنابر (۴۱) ، انتگرال های در عبارت بالا کراندار هستند بنابراین

و با جایگذاری در (۴۴) اثبات محقق می شود.

فرض های در مورد در قضیه ی ۴-۱-۹ نسبت به فرضیه های قضیه ی ۵-۱-۴ کمی قویتر هستند. در قضیه ی ۴-۱-۹ می توان به جای خطای برش (۴۲) مستقیماً از (۴۶) استفاده کرد ، که در این صورت شرط های روی ، (۴۱) ، ضروری به نظر نمی رسند. اما باید توجه داشت ، که ممکن است انتگرال های (۴۶) وجود نداشته باشند.

۴-۱-۱۰ گسسته سازی فضا: مرحله ی بعد از موضعی سازی برای حل معادله ی ،گسسته سازی فضا می باشد.در واقع زمان و مکان را تقسیم بندی می کنیم و یک شبکه ساخته خواهد شد که به صورت زیر تعریف می شود:
و همچنین فرض می کنیم جواب معادله ی روی نقاط این شبکه باشد.

ایده ی اصلی روش های عددی تفاضل متناهی، برای حل معادلات (معادله ی (۳۲)) تفکیک اپراتوربه دو بخش است:

که بخش دیفرانسیل و بخش انتگرال ، اپراتور می باشند. برای ارائه ی روش های تفاضل متناهی دو حالت را در نظر می گیریم:

الف) در حالتی که مدل با فعالیت متناهی باشد (با نرخ متناهی). ب) در حالتی که مدل با فعالیت نامتناهی باشد.

۴-۱-۱۱ روش های تفاضل متناهی در مدل های با فعالیت متناهی: همان طور که در بخش ۲ گفته شد ، در مدل های با فعالیت متناهی است. در این حالت فرض می کنیم . بنابراین اپراتور در معادله ی (۳۲) به صورت زیر است:

اگر برش انتگرال را بازه ی در نظر بگیریم،

در نتیجه

که .

برای تقریب ، عبارت های انتگرالی از روش ذوزنقه ای استفاده می کنیم. برای این کار فرض می کنیم و به گونه ای باشند که . بنابراین با بهره گرفتن از روش ذوزنقه ای ،

همچنین مشتقات جزئی اپراتور را ، با تفاضلات متناهی جایگزین می کنیم:

در تقریب مشتق جزئی مرتبه ی اول دو حالت را در نظر گرفته ایم ، که این شروط برای برقراری پایداری می باشند. (پایداری را در قسمت همگرایی بحث خواهیم کرد) بدون از دست دادن هیچ کلیتی حالت را در نظر خواهیم گرفت(علت آن را در قسمت همگرایی خواهیم گفت) ، در نتیجه با بهره گرفتن از (۴۷)،(۴۸) و (۴۹)

۴-۱-۱۲ روش تفاضل متناهی صریح- ضمنی^[۸۱] و الگوریتم آن (در حالت اول): مسأله ی (۳۲) را در نظر می گیریم، با بهره گرفتن از (۵۰) و می توان تعریف کرد:

روش بالا ، به روش صریح مشهور است . (انتخاب های متفاوتی برای در سمت راست (۵۱) وجود دارد.) روش دیگری نیز که مشهور به روش ضمنی است ، به صورت زیر تعریف می شود:

روش های بالا را می توان در یک فرم کلی ارائه کرد ، یا به عبارت دیگر

اگر ، همان روش صریح است . اگر باشد، یک روش شبیه روش ضمنی می باشد . به همین دلیل است که روش بالا را ، روش می نامند.

بحث روی پیچدگی محاسبات در هر مرحله در مقابل تعداد مراحل نشان می دهد، اگر باشد، آن گاه روش ضمنی یک روش مناسب است و هنگامی که ، انتخاب روش صریح مناسب تر است. (برای جزئیات بیشتر به [۲۴] مراجعه شود) اما اگر و در معادله وجود داشته باشند، از تفکیک اپراتور استفاده می کنیم . یعنی این که ترکیبی از دو روش صریح و ضمنی را به کار می بریم، که به روش صریح – ضمنی معروف است و بدین صورت تعریف می شود.

در نهایت الگوریتم روش صریح- ضمنی به صورت زیر است:

۱) شرایط را به صورت زیر جایگزین می کند:

۲) برای حل می کند:

(۵۲)

حال روش صریح – ضمنی را برای مسأله ی در حالت دوم بررسی خواهیم کرد:

۴-۱-۱۳ روش های تفاضل متناهی در مدل های با فعالیت نامتناهی: در بخش (۲) دیدیم که در مدل های لوی با فعالیت نامتناهی، است پس روش قسمت قبل را مستقیماً نمی توان به کار برد. به عبارت دیگر، هنگامی که اندازه ی لوی در نزدیکی صفر تکین باشد، روش قبل ( صریح- ضمنی) را نمی توان استفاده کرد . در فصل ۲ (۵-۳-۲) مشاهده کردیم که هر فرایند لوی با فعالیت نامتناهی را می توان با یک فرایند پواسون ترکیبی ، با برش اندازه ی لوی در نزدیکی صفر تقریب زد ، یا به طور معادل ، پرش های کوچک فرایند لوی را به وسیله ی یک حرکت براونی تقریب زد. بنابراین فرایند (یک فرایند لوی با فعالیت نامتناهی) با یک فرایند با فعالیت متناهی و یک ضریب دیفیوژن اصلاح شده ، تقریب زده می شود.

فرض کنیم که داده شده باشد . طبق ۵-۳-۲ تقریب فرایند را به صورت در نظر می گیریم که یک فرایند لوی با سه تایی مشخصه ی می باشد ، که در آن

و این انتخاب به گونه ای است که مارتینگل شود.

حال تابع (جواب مسأله ی ) به صورت زیر تعریف است:

که در مسأله ی کوشی زیر صدق می کند:

جایی که

در نتیجه با تقریب فرایند لوی با فعالیت نامتناهی با یک فرایند لوی با فعالیت متناهی ، حالت دوم به حالت اول مبدل گردیده است . بنابراین روش صریح – ضمنی را می توان در این حالت نیز به کاربرد.

در ادامه روش محاسبه ی نرخ همگرایی را برای تقریب ارائه می دهیم:

۴-۱-۱۴ قضیه: فرض کنیم در شرط لیپشیتز صدق کند: و و جواب های مسأله ی (۳۲) و (۵۳) باشند، آن گاه که در آن یک مقدار ثابت است.

اثبات: تعریف می کنیم ، با توجه به تعریف و

چون در شرط لیپشیتتز صدق می کند(طبق فرض) بنابراین تقریباً همه جا با شرط ، دیفرانسیل پذیر است. با بهره گرفتن از قضیه ی ۲-۳-۶ داریم
که و همچنین با توجه به شرط لیپشیتنر و نامساوی جنسن

بنابر تعریف و

با توجه به ۲-۳-۵، ، نتیجه می گیریم

به این دلیل که، ، پس همگرایی(۵۵) سریعتر از (۴۲) است ، بنابراین می توان از (۵۵) چشم پوشی کرد و با قرار دادن به نتیجه ی مطلوب رسید.

۴-۱-۱۵ نتیجه: اگر ، که ، آن گاه

تقریب نتیجه ی بالا ، با متناسب است و همه ی مثال های عملی استفاده شده در ارزش گذاری اختیار معاملات

این گونه هستند( مانند مدل واریانس گاما و ).[۲۶]

۴-۲ همگرایی

در بخش قبل، روش صریح – ضمنی را برای حل معادله ی بیان کردیم، در این قسمت قصد داریم همگرایی این روش تفاضل متناهی را مطالعه کنیم . در واقع همگرایی ، سازگاری ، پایداری و یکنوایی روش ارائه شده را مورد تجزیه تحلیل قرار می دهیم.

در رویکرد معمول از معادله های ، طبق تئوری هم ارزی لاکس^[۸۲] (تئوری ساختاری تحلیل عددی) رابطه زیر برقرار است[۳۲]: همگرایی پایداری + سازگاری

۴-۲-۱ یکنوایی: یکی از خاصیت های مهم برای روش های عددی خاصیت یکنوایی می باشد. این خاصیت در ارزش گذاری، اصل مقایسه ای را تضمین می کند. همان طور که قبلاً ذکر شد(فصل (۳)) برقراری اصل مقایسه ای نیز برای جواب عددی، منجر به برقراری نامساوی آربیتراژ می گردد. در واقع اگر این اصل برقرار باشد یک تقریب بدون آربیتراژ برای به دست خواهیم آورد(قضیه ی ۳-۴-۱۲).

۴-۲-۲ قضیه: روش صریح- ضمنی یکنواست: اگر و شرط اولیه ی کراندار باشند ، آن گاه اثبات : عبارت (۵۲) را به صورت زیر بازنویسی می کنیم:
با بهره گرفتن از تعریف و داریم

و در نتیجه

با قرار دادن

و با جایگذاری ، و در (۴-۲-۲)

در ۴-۱-۱۱ ، را منفی در نظر گرفتیم ، که از آن نتیجه می شود:

اگر باشد، تقریب مشتق مرتبه ی اول را ، در نظر می گیریم که باز هم a ، b و c نامنفی خواهند بود. در واقع برای اثبات یکنوایی (و پایداری)، نامنفی بودن ، و لازم است. بنابراین بدون از دست دادن هیچ کلیتی می توان فرض کرد که باشد. با توجه به تعریف a ، b و c داریم:

حال فرض کنیم و دو جواب مسأله ی (۵۲) با شرایط اولیه ی متناظر و باشند و همچنین فرض کنیم برای همه ی ، .

برای همه ی ، با استقراء ثابت می کنیم : اگر

فرض می کنیم برای ، و همچنین .

به دلیل این که برای ،

پس ، به طوری که

که با فرض متناقض است، بنابراین و از آن نتیجه می شود .

۴-۲-۳ پایداری: حساسیت جواب یک مسأله ی مقداراولیه با شرایط اولیه یک قضیه ی مهم در تئوری و کاربرد معادله ی دیفرانسیل است . هنگامی که یک معادله ی دیفرانسیل را برای یک مدل به کار می بریم ، در حقیقت شرایط اولیه به طور کلی نامعین است ، در عوض ممکن است بازه ی شرایط اولیه کوچک باشد. بنابراین برای ارزیابی مقدار خطا در پیشگویی مدل مهم است که بدانیم آیا جواب ها که به ازای نقطه اولیه ی نزدیک به یکدیگر هستند ، در مقادیر دیگر هم نزدیک به یکدیگر باقی می مانند. یک مسأله ی مقدار اولیه که جواب آن به تغییرات کوچک در مقدار اولیه کمی حساس است را پایدار می نامند(هنگامی که (زمان) افزایش می یابد) ، در غیر این صورت آن را ناپایدار می نامند. اگر تمام جواب های یک معادله ی دیفرانسیل پایدار باشند ، معادله را پایدار می نامند و همچنین اگر همه ی جواب ها ناپایدار باشند معادله را ناپایدار می گویند . اگر یک معادله ناپایدار باشد و در یک بازه ی طولانی از آن استفاده کنیم ، یک خطای کوچک در شرایط اولیه می تواند منجر به خطای بزرگی در ادامه شود . حال به طور دقیق به تعریف پایداری می پردازیم .

۴-۲-۴ تعریف (پایداری) : روش صریح- ضمنی پایدار است ، اگر و فقط اگر ، برای یک شرط اولیه ی کراندار ، جواب در همه ی نقاط شبکه (روی )به طور یکنواخت ، مستقل از و ، کراندار باشد:

در واقع پایداری بیان می کند که ، جواب عددی در یک نقطه ی داده شده ( یا به طور معادل ، ارزش اختیار معامله برای یک دارایی بنیادین /تاریخ داده شده) هنگامی که ، انفجار پیدا نمی کند .[۲۴]

۴-۲-۵ قضیه: اگر باشد، روش صریح- ضمنی پایدار است .

اثبات :]۲۶[ .

حال مسأله ی (۵۲) را به فرم دیگری بازنویسی خواهیم کرد .

۴-۲-۶ تعریف: مسأله ی (۵۲) را به صورت زیر تعریف می کنیم:

(۵۹)

و را جواب مسأله ی بالا روی شبکه ی می نامیم.

۴-۲-۷ تعریف: یک تابع تعریف شده روی را یک زبر جواب از مسأله ی (۵۹) گویند، هرگاه

و تابع تعریف شده روی را یک زیر جواب از مسأله ی (۵۹) است، اگر

نتیجه زیر ، اصل مقایسه ای گسسته را برای جواب و زیر جواب (که به صورت بالا تعریف شده اند) توسعه می دهد.

۴-۲-۸ لم: برای هر زبرجواب و زیر جواب از مسأله ی (۴-۲-۴)، روی شبکه ی داریم

اثبات: سه حالت را در نظر می گیریم الف)اگر باشد، با توجه به تعریف

بنابراین

ب) اگر ، با بهره گرفتن از تعریف

که نتیجه می شود:

اگر و با بهره گرفتن از خاصیت یکنوایی روش صریح- ضمنی نتیجه حاصل می شود . در واقع اگر

آن گاه برای به دست می آوریم:

بنابراین اثبات کامل است.

۴-۲-۹ تعریف(سازگاری): روش تفاضل متناهی را با معادله ی سازگار گویند ، هر گاه برای هر تابع هموار ، هنگامی که ( ،

سازگاری بدین معنی است که معادله ی گسسته ، معادله ی پیوسته را تقریب می زند ( در واقع بیان نمی کند جواب معادله ی پیوسته را تقریب می زند).[۲۴]

روش تفاضل متناهی صریح- ضمنی برای هر تابع هموار، با معادله ی سازگار نمی باشد. در قضیه ی بعد سازگاری روش را در نرم یکنواخت برای کلاسی از توابع نشان خواهیم داد (در واقع نشان می دهیم روش تفاضل متناهی به طور موضعی با معادله ی سازگار است):

۴-۲-۱۰ قضیه (سازگاری در نرم یکنواخت): اگر

آن گاه برای هر و هر ،

به طوری که

اثبات : ابتدا فرض می کنیم :
در واقع باید ثابت کنیم عبارت (۶۱) توسط کراندار است و از
مستقل است و همچنین هنگامی که .

بنابراین برای اثبات تک تک مولفه ها را بررسی می کنیم. طبق خاصیت نرم یکنواخت

با توجه به این که به طور یکنواخت پیوسته است (طبق فرض) پس عبارت بالا ، هنگامی که برود ، به صفر میل می کند.

حال عبارت (بخش دیفرانسیلی )را در نظر می گیریم. با بهره گرفتن از بسط تیلور برای مرتبه ی دوم

با توجه به این که به طور یکنواخت پیوسته است(بنا بر فرض) وقتی که برود ، عبارت بالا به سمت صفر میل می کند. به طور مشابه برای داریم

برای عبارت نیز با توجه به (۴۷)

با توجه به این که است هنگامی که و ، بنابراین

با بهره گرفتن از (۶۲) ، (۶۳) ، (۶۴) و همچنین پیوستگی یکنواخت روی داریم

بخش انتگرال نیز با بهره گرفتن از تعریف به صورت زیر تخمین زده می شود:

با ترکیب (۶۵) و (۶۶) اثبات کامل می شود.

۴-۲-۱۱ همگرایی: یک رویکرد معمول برای به دست آوردن همگرایی روش های تفاضل متناهی این است که سازگاری و پایداری تحت یک سری فروض با قاعده روی جواب (همواری جواب)، همگرایی را نتیجه می دهد (تئوری لاکس). اما این رویکرد برای روش تفاضل متناهی صریح- ضمنی قابل قبول نمی باشد، زیرا ممکن است جواب ها ناهموار باشند و مشتقات مراتب بالاتر موجود نباشند . برای مثال ، در مدل واریانس گاما ارزش اختیار خرید متعلق به می باشد اما در قرار ندارد [۲۴]. در اینجاست که جواب های ویسکوزیته نجات بخش ما می باشند . در واقع بارلس^[۸۳] و سوگانیدیس^[۸۴] [۱۲] نشان دادند که هر روش تفاضل متناهی ( برای معادلات سهموی ) که پایدار، یکنوا و به طور موضعی سازگار باشد، روی هر زیر مجموعه ی فشردهی به طور یکنواخت به یک جواب ویسکوزیته ی پیوستهی یکتا همگراست ، حتی هنگامی که جواب ها هموار نباشند. این نتیجه میتواند به توسعه داده شود. در واقع عقیده ی بارلس و سوگاندیس این است که حدهای نقطه ای را به صورت زیر نشان می دهند:

و زیر و زبر جواب ها را تعریف می کنند، سپس با بهره گرفتن از آن و اصل مقایسه ای نتیجه می گیرند:

همان طور که گفته شد، روش صریح- ضمنی، یکنوا و به طور موضعی سازگار است اما اصل مقایسه ای برای مسألهی نیاز به خاصیت پیوستگی یکنواخت دارد که ممکن است برای و تعریف شده در بالا برقرار نباشد . بنابراین نمی توان ، نتایج بارلس و سوگانیدیس را مستقیماً به کاربرد. برای این کار ما زیر و زبر جواب های پیوسته را تعریف می کنیم و از آن نامساوی های مرتبط با و را به دست خواهیم آورد .

۴-۲-۱۲ تعریف: یک تابع یک زبرجواب هموار مسألهی (۳۲) است، اگر در نامساوی های زیر صدق کند:

[۲۶].

۴-۲-۱۳ تعریف: یک تابع یک زیرجواب هموار مسألهی (۳۲) است، اگر در نامساوی های زیر صدق کند:

[۲۶].

۴-۲-۱۴ لم: اگر و به ترتیب یک زبرجواب و زیرجواب از مسأله ی (۳۲) باشند، آن گاه برای همه ی ، به طوری که

اثبات : را به گونه ای انتخاب می کنیم که و همچنین فرض می کنیم

ثابت می کنیم یک زیرجواب از مسأله ی تعریف شده در ۴-۲-۷ می باشد، برای این کار سه حالت را در نظر میگیریم:

الف)اگر ، بنابر ۴-۲-۷

ب) اگر ، بنابر ۴-۲-۷

پ) اگر و ، داریم

با توجه به قضیه ی۴-۲-۱۰، هنگامی که و ( ، عبارت بالا روی به طور یکنواخت به سمت عبارت زیر میل می کند:

بنابراین برای و به اندازه ی کافی کوچک و همچنین داریم

با بهره گرفتن از (۵۹) عبارت بالا را می توان به صورت زیر نوشت :

از (۶۸) ، (۶۹) و (۷۰) نتیجه می شود که یک زبر جواب از مسأله ی ۷-۲-۴ می باشد و همچنین با به کار بردن لم ۴-۲-۸ نتیجه می گیریم به ازای هر و :

کران پایین ، یعنی ، به طور مشابه اثبات می گردد.

۴-۲-۱۵ نتیجه: اگر و تابع های تعریف شده در (۶۷) باشند. آن گاه برای هر زیر و زبرجواب هموار و مسأله ی (۳۲) و همه ی :

اثبات: با بهره گرفتن از تعریف حدهای بالا و پایین و لم۴-۲-۱۴ نتیجه حاصل می شود.

حال آماده ایم که نتیجه ی مهم این بخش یعنی همگرایی روش تفاضل متناهی صریح- ضمنی را ارائه دهیم.

۴-۲-۱۶ قضیه: مسأله ی ارزش گذاری اروپایی() را ، با در نظر می گیریم. اگر یک تابع تکه ای پیوسته کراندار روی باشد، آن گاه برای همه ی و، جواب مسأله ی گسسته به جواب مسأله ی پیوسته همگرا است:

اثبات: فرض کنیم و به طوری که . تعریف می کنیم و . با توجه به این که و ، بنابراین و در دامنه ی مولد بی نهایت کوچک قرار می گیرند و طبق قضیه ی ۲-۲-۱۰، و جواب هایی در از مسأله ی (۳۲) می باشند و همچنین نتیجه می گیریم و یک زیر و زبر جواب از مسأله ی کوشی (۳۲) می باشند.

بنابر نتیجه ی ۴-۲-۱۵
اگر و به طور دلخواه خیلی کوچک باشند ، نتیجه می شود :

بنابراین این قسمت از اثبات باقی ماند که تقریب های هموار مناسب را از بسازیم. برای این کار فرض می کنیم نقاط ناپیوستگی باشند و همچنین پرش های به وسیله ی ثابت کراندار هستند و به ازای داده شده، را به گونه ای انتخاب می کنیم که

پس با توجه به بالا و این که احتمال کوچکتر مساوی ۱ است:

تعریف می کنیم

پس

با توجه به این که ، پس برای ، دارای توزیع به طور مطلق پیوسته است . در نتیجه

بنابراین

در نتیجه

بنابر (۷۱) و (۷۲)

۴-۲-۱۷ تذکر: در قضیه ی ۴-۲-۱۶ فرض شد که است. این فرض را برای همه ی مدل های مالی می توان در نظر گرفت ، زیرا در بخش ۲-۳ یک عبارت معرفی شد حتی در حالتی که مدل پرشی محض با باشد.

۴-۲-۱۸ نتیجه: اگر ، آن گاه

نتیجه ی بالا نشان می دهد، روش صریح- ضمنی برای شرط آغازین در نقاط ناپیوستگی از همگرا نمی باشد. امّا در عمل مهم نمی باشد ، زیرا ما نیاز به محاسبه ی جواب عددی در نداریم .

قضایای ۴-۱-۱۵ و ۴-۱-۱۶ این اجازه را به ما می دهد که ارزش گذاری اختیارمعاملات را در مدل های لوی نمایی(در بخش ۲) محاسبه کنیم. امّا قضیه ی ۴-۲-۱۵ نرخ همگرایی را به دست نمی دهد . در قسمت بعد یک تخمین را برای نرخ همگرایی به دست خواهیم آورد .

در ساختار جواب های ویسکوزیته، نتایج نرخ های همگرایی برای روش های عددی معادلات مرتبه ی اول توسط کراندل و لیونز^[۸۵] [۲۹] و برای معادلات سهموی مرتبه ی دوم توسط کریلوف^[۸۶] [۳۹و۴۰] بیان شده اند ما رویکردی شبیه [۴۰] خواهیم داشت اما یک کران بهتر را به دست خواهیم آورد.

در ابتدا روش صریح ضمنی را به صورت زیر بازنویسی می کنیم:

(۷۳) که در آن :

و

شبکه ی را در نظر می گیریم که و هستند فرض کنیم داده شده است. را فضای توابع کراندار روی
با فرم

می نامیم و همچنین برای

قبل از این که نرخ همگرایی را ارائه دهیم نیاز به ذکر مقدماتی داریم که در ادامه بیان خواهیم کرد.

۴-۲-۱۹ تعریف: اگر تابعی از مجموعه ای مانند در خودش باشد. نقطه ی را یک نقطه ثابت برایمی نامند، هرگاه .[۲]

۴-۲-۲۰ قضیه: اگر یک فضای متریک فشرده باشد و تابع به ازای هر در رابطه صدق کند آن گاه دقیقاً یک نقطه ی ثابت دارد.

اثبات: [۲].

۴-۲-۲۱ تعریف: اگر فضایی متریک باشد. تابع را یک انقباض می نامند، هرگاه عددی مانند وجود داشته باشد به طوری که به ازای هر متعلق به ،
عددیک ثابت انقباض نام دارد. [۲]

۴-۲-۲۲ قضیه: اگر هر تابع انقباض مانند که روی یک فضای متریک کامل مانند معین باشد، آن گاه دقیقاً یک نقطه ی ثابت دارد. یعنی نقطه ی منحصربه فردی مانند هست به طوری که . اثبات: [۲].

۴-۲-۲۳ لم: برای ،مسأله ی زیر را در نظر می گیریم :

که . الف) برای هر مسأله ی بالا یک جواب منحصر به فرد به صورت دارد.

ب) اگر باشد به طوری که و ، آن گاه
اثبات: الف) ابتدا (۷۴) و (۷۵) را به صورت در نظر می گیریم. تعریف می کنیم (۷۶)
به طوری که

یکنواست یا این که اگر آن گاه . بنابر (۷۳) داریم

برای کوچک (مثلاً ) داریم
حال تعریف می کنیم

بنابراین (۷۴) و (۷۵) را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

که در آن ، یا به طور معادل

جایی که
(۷۸)

بنابراین به عنوان یک اپراتور، روی تعریف می شود. حال ثابت می کنیم که یک انقباض است. بنابر (۷۸) داریم:

به دلیل این که و همچنین یکنواست ، نتیجه می گیریم با بهره گرفتن از (۷۷)
با توجه به این که (۷۶)، پس می باشد بنابراین یک انقباض است و با بهره گرفتن از قضیه ی ۴-۲-۲۲ اثبات کامل است. ب) ابتدا بدون از دست دادن هیچ کلیتی ، برای همه ی و ها فرض می کنیم و نشان می دهیم . برای این کار قرار می دهیم . با بهره گرفتن از استقراء داریم
فرض می کنیم و همچنین اگر داده شده باشد ، را برای همه ی ها به گونهای انتخاب می کنیم که
در نتیجه، برای همه ی ، با توجه به (۵۸)

با توجه به این که (فرض استقراء) و مثبت هستند ، بنابراین
هنگامی که میل کند ، نتیجه می گیریم پس .

اکنون ، حالت کلی را در نظر می گیریم ، برای این کار قرار می دهیم

(۷۹) در نتیجه جواب مسأله ی (۷۴) و (۷۵) با است. با جایگذاری (۷۹) در عبارت بالا داریم


با توجه به (۷۵) بنابراین

حال ، با توجه به تعریف (۷۳) نتیجه می گیریم

با قرار دادن این عبارت در (۸۰) به دست می آوریم :
بنابر فرض ، پس

که نتیجه می شود ، بنابراین

در نتیجه
با تعویض و اثبات تمام می شود .

قبل از ادامه ی بحث ، یک فرض روی تابع جبرانیه ی در نظر خواهیم گرفت.

۴-۲-۲۴ فرض: گیریم روی پیوسته باشد و نقاط وجود داشته باشند . به طوری که روی ، برای ، متعلق به باشد و برای همه ی و داشته باشیم :
برای مثال ، تابع جبرانیه ی اختیار فروش ، ،در این شرایط صدق می کند .

۴-۲-۲۵ تعریف (ضرب پیچشی^[۸۷]) : برای هر تابع بورل اندازه پذیر و هر اندازه ی روی ضرب پیچشی به صورت زیر تعریف می شود:
[۹].

۴-۲-۲۶ لم: گیریم در فرض ۴-۲-۲۴ صدق کند و ، جواب ویسکوزیته ی مسأله ی زیر باشد:

آن گاه ، برای همه ی ، :
جایی که ثابت C فقط به و ضرایب اپراتور (یعنی ) بستگی دارد .

اثبات: با بهره گرفتن از تعریف (۱۵) و ضرب پیچشی داریم

که چگالی ، چگالی و چگالی

هستند. پس

مشتتقات ممکن است دارای پرش هایی در باشند، این پرش ها را با نشان می دهیم. بنابراین با توجه به ۴-۲-۲۴ برای همه ی و ،
با بهره گرفتن از تعریف ضرب پیچشی

که مشتق نقطه ای ام است. برای همه ی داریم

در نتیجه، برای همه ی ، با توجه به (۸۴)، (۸۵) و (۸۶)

در نتیجه حکم قضیه برای و برقرار است. به وسیله ی استقراء روی فرض می کنیم برای و نامساوی (۸۳) برقرار است. حال برای هر داریم

با به کار بردن این نتیجه برای و استفاده از نتیجه می گیریم

بنابراین برای و نامساوی (۸۳) برقرار است. حال با روندی مشابه بالا، برای و ،با استقراء روی به نتیجه ی مطلوب خواهیم رسید.

با بهره گرفتن از لم قبل، نتیجه ی سازگاری زیر را اثبات می کنیم .

۴-۲-۲۷ لم : اگر جواب مسأله ی (۸۱) و (۸۲) باشد، آن گاه برای همه ی ،
که .

اثبات : با بهره گرفتن از ۴-۱-۱۱ داریم:

از فرمول تیلور نتیجه می گیریم ، به طوری که

(۸۷)

بخش انتگرال به صورت زیر تخمین زده می شود(بنابر تخمین انتگرال ها با بهره گرفتن از روش ذوزنقه ای):

از (۸۷) و (۳۰) نتیجه ی مورد نظر حاصل می شود.

اکنون آماده ی آن هستیم که نرخ همگرایی را به دست آوریم .

۴-۲-۲۸ قضیه: گیریم شرط اولیه ی در فرض ۴-۲-۲۴ صدق کند و همچنین فرض کنیم جواب منحصربه فرد مسألهی (۸۷) و (۸۸) باشد و جواب مسألهی (۷۴) و(۷۵) با است. اگر ، آن گاه

در جایی که فقط به ، و ضرایب اپراتور بستگی دارد.

اثبات: تابع با جواب مسألهی (۷۴) و(۷۵) میباشد. بنابراین و جواب مسألهی (۷۳) و(۷۴) میباشند وطبق لم ۴-۲-۲۳

برای اولین عبارت در (۸۹) با بهره گرفتن از لم ۴-۲-۲۶

بنابراین
(۹۰)

قبل از آن که دومین عبارت (۸۹) را تخمین بزنیم، توجه کنیم که
و

به دلیل این که سری همگراست، بنابراین

حال عبارت دوم (۸۹) را در نظر میگیریم. بنابر لم ۴-۲-۲۶

(۹۳)

اگر باشد، با ترکیب (۸۹)، (۹۰) و (۹۳) نتیجه حاصل می شود.

فصل پنجم

نتایج تجربی و عددی

در این فصل با بهره گرفتن از داده های واقعی بازار بورس داخلی(شاخص کل و شاخص صنعت) و خارجی رفتار بازدهی سهام را مورد تجزیه وتحلیل قرار می دهیم. بعد از آن به شبیه سازی مسیرهای نمونه ای برای دو مدل واریانس گاما و مرتون خواهیم پرداخت. سپس بررسی خواهیم کرد که آیا نوسانات(تلاطم)بازار ثابت است یا خیر؟ در نهایت با بهره گرفتن از الگوریتم صریح-ضمنی به ارزش گذاری اختیارمعاملات اروپایی و توأم بامانع خواهیم پرداخت.

۵-۱ بررسی آماری داده ها و توزیع آن ها

نتایج تجربی شاخص سهام نشان می دهند که لگاریتم بازدهی به عنوان یک توزیع نرمال رفتار نمی کند. برای بررسی این موضوع شاخص سهام چند بورس خارجی و شاخص سهام ایران(شاخص کل و صنعت برای مدت ۵ سال(۸۵-۹۰)) را در نظر می گیریم و برای این که ببینیم آیا لگاریتم بازدهی سهام دارای توزیع نرمال می باشد یا خیر، از سه طرق به بررسی این موضوع خواهیم پرداخت:

۱)کشیدگی، چولگی، میانگین و انحراف معیار

۲)نمودار تابع چگالی

۳) آزمون نیکویی برازش(کای دو)

۵-۱-۱ کشیدگی، چولگی، میانگین و انحراف معیار

جدول(۵-۱) و (۵-۲) خلاصه ای از کشیدگی، چولگی، میانگین و انحراف معیار را برای شاخص سهام خارجی و ایران را نمایش می دهد.

جدول (۵-۱)- میانگین، انحراف معیار، چولگی و کشیدگی شاخص های مهم[۴۸]

جدول (۵-۲)- میانگین، انحراف معیار، چولگی و کشیدگی شاخص اصلی و صنعت ایران

کشیدگی	چولگی	انحراف معیار	میانگین	شاخص ایران
۸۱۴۳/۱۶	۲۲۶۲/۰	۶۱۵۴/۰	۰۸۲۲/۰	کل
۹۱۱/۱۸	۴۶/۰	۶۶۲۲/۰	۰۷۷۵/۰	صنعت

همان طور که مشاهده می شود، چولگی در هیچ یک از موارد صفر نمی باشد(در صورتی که در توزیع نرمال چولگی صفر است). همچنین مشاهده می شود که کشیدگی برای همه ی شاخص ها بزرگتر از ۳ می باشد(در توزیع نرمال کشیدگی برابر با ۳ است) و این مهم ترین دلیلی است که فرایندهای ارزش گذاری دارایی را پرشی در نظر می گیرند.

۵-۱-۲ تخمین تابع چگالی

در این قسمت تابع چگالی داده های واقعی را با تابع چگالی نرمال مقایسه می کنیم. نمودار (۵-۳) تخمین تابع چگالی تجربی را با تابع چگالی نرمال برای شاخص سهام نشان می دهد. برای تخمین تابع چگالی تجربی از تخمین زن چگالی هسته ای استفاده شده است[۴۸].

 شکل(۵-۳)- تخمین زن چگالی هسته ای و چگالی نرمال از شاخص [۴۸]

در این نمودار مشاهده می شود که تابع چگالی داده های تجربی تیزتر از چگالی نرمال است.

نمودارهای (۵-۴) و (۵-۵) مقایسه ی هیستوگرام داده های تجربی را با توزیع نرمال برای شاخص کل سهام و شاخص صنعت نشان می دهند.در این جا نیز مشاهده می شود که توزیع داده های تجربی از توزیع نرمال کشیده تر و دارای دم سنگین تر

می باشد.

۵-۱-۳ آزمون کای دو

یکی از متداول ترین آزمون های نیکویی برازش، آزمون مربع کای دو است که برای داده های گسسته و پیوسته به کار می رود[۴۸]. این آزمون مبتنی بر مقایسه مقادیر مشاهده شده با مقادیر مورد انتظار است. در این جا با بهره گرفتن از این آزمون بررسی خواهیم کرد که آیا داده ها دارای توزیع نرمال هستند یا نه؟(فرض صفر در این جا می گوید که داده ها دارای توزیع نرمال اند) جدول های (۵-۶) و (۵-۷) نتایج آزمون کای دو را (در سطح خطای ۰۵/۰) نشان می دهند. در همه ی موارد فرض صفر(یعنی این که داده ها دارای توزیع نرمال اند) رد می شود.

جدول(۵-۶)- آزمون کای دو نرمال[۴۸]

جدول(۵-۷)- آزمون کای دو نرمال برا ی شاخص اصلی و صنعت ایران

تعداد کلاس ها	p-value	شاخص سهام ایران
۴۰	۰۰۰۰/۰	کل
۴۰	۰۰۰۰/۰	صنعت

۵-۲ شبیه سازی فرایند واریانس گاما و مدل مرتون

در این قسمت به شبیه سازی مسیرهای نمونه ای دو مدل واریانس-گاما و مرتون خواهیم پرداخت.برای شبیه سازی مدل واریانس-گاما از الگوریتم (۸٫۴٫۲ [۴۸]) استفاده کرده ایم. یک مسیر نمونه ای از فرایند واریانس-گاما در نمودار(۵-۸) نمایش داده شده است.

شکل(۵-۸)- یک مسیر نمونه ای برای فرایند واریانس گاما

نمودار (۵-۹) شبییه سازی یک مسیر نمونه ای فرایند واریانس-گاما و مدل مرتون را نمایش می دهد. تفاوت این نمودار با نمودار قبل در پرش های آن است.

شکل(۵-۹)- چپ: یک مسیر نمونه ای برای مدل مرتون. راست: یک مسیر نمونه ای برای مدل واریانس گاما.

۵-۳ تلاطم

مطالعات تجربی نشان داده‌اند که ضریب شدت تغییرات تصادفی (تلاطم()) ثابت نیست. بر این اساس، عده‌ای از محققین مدل‌های آنالیز تصادفی را برای بررسی تغییرات این کمیت پیشنهاد کرده‌اند که در آن ها به جای در مدل بلک- شولز یک فرایند تصادفی قرار می‌گیرد(۳-۳).در این بخش بررسی خواهیم کرد که آیا تلاطم در بازارهای واقعی ثابت است یا نه؟

نوسان پذیری ضمنی،همان میزان نوسان پذیری که وقتی در معادله بلک شولز جایگذاری می شود، قیمت بازار اختیار معامله را به دست می دهد[۳۶]. بخشی از نوسان پذیری ضمنی یک اختیار معامله که به صورت تابعی از قیمت توافقی آن است، را نوسان پذیری اسمایل گویند[۳۶]. در واقع در بازار با بهره گرفتن از داده های واقعی مشاهده شده است که نمودار تلاطم در مقابل قیمت توافقی به شکل یک لبخند است.

ابتدا تلاطم ضمنی را برای اختیار معامله ی اروپایی با بهره گرفتن از داده های واقعی به دست می آوریم(در این حالت مدل بازار را نرمال فرض کرده ایم). این کار با بهره گرفتن از روش نیوتن رافسون[۴۸] انجام می دهیم. نمودار (۵-۱۰) تلاطم ضمنی را در مقابل قیمت توافقی نشان می دهد.

همان طور که انتظار داشتیم شکل شبیه یک لبخند است. در واقع مشاهده می شود که تلاطم ثابت نمی باشد. در این حالت مدل بازار نرمال در نظر گرفته شده است.

شکل(۵-۱۰)- تلاطم ضمنی در مقابل قیمت توافقی در بازار نرمال

حال فرض می کنیم که بازار نرمال نباشد (فرض می کنیم که بازار دارای یکی از دو مدل واریانس-گاما یا مرتون است) . نمودار (۱۱-۵) تلاطم ضمنی را در مقابل قیمت توافقی در مدل های واریانس گاما و مرتون نشان می دهد.

 شکل(۵-۱۱)- چپ: تلاطم ضمنی در مقابل قیمت توافقی در مدل واریانس گاما. راست: تلاطم ضمنی در مقابل قیمت توافقی در مدل مرتون.

در این جا نیز مشاهده می شود که تلاطم ثابت نیست(شبیه یک لبخند است).

۵-۴ ارزش گذاری اختیارمعاملات با بهره گرفتن از الگوریتم صریح-ضمنی

در این قسمت عملکرد روش صریح-ضمنی ارائه شده در فصل چهارم را با ذکر دو مثال بررسی خواهیم کرد.

در مثال اول یک مدل واریانس گاما را با چگالی لوی

و دو مجموعه از پارامترهای زیر در نظر می گیریم:

و در مثال دوم نیز یک مدل مرتون را با پرش های گاوسی در ارزش لگاریتمی با چگالی لوی زیر در نظر می گیریم:

دو مدل بالا به این دلیل انتخاب شده اند که در هر مورد یک روش جایگزین با معادله ی برای محاسبه ی ارزش اختیار معامله وجود دارد. در واقع در مدل مرتون ارزش اختیار معامله توسط سری بسط داده شده در دسترس است(فصل ۱۰ [۲۴]) و در مدل واریانس گاما نیز فرم بسته ی تابع مشخصه قابل دسترس است، که می توان با بهره گرفتن از روش ^[۸۸] [۲۰] ارزش اختیار معامله را محاسبه کرد. بنابراین می توان ارزش اختیارمعامله را در هر یک از این دو مدل با روش مقایسه کرد.

حال یک اختیار فروش با ساله و را در نظر می گیریم. از دید مالی، اندازه خطای متناسب با این اختیارمعامله به صورت زیر تعریف می شود[۲۶] :

که نشان دهنده ی آن است که تلاطم به صورت ضمنی در نظر گرفته شده است. این خطا در دو حالت بررسی می شود:

۱) به صورت نقطه ای در .

۲) به صورت یکنواخت روی بازه ی (این بازه شامل همه ی اختیارمعاملات اقتباس شده از بازار است[۲۴]).

شکل (۵-۱۲) اندازه خطا را برای مدل مرتون (دومین مثال) برای دو شرط آغازین هموار و ناهموار نمایش می دهد. در این جا دامنه ی به انحراف معیار آن تقسیم شده است(استاندارد سازسی).

شکل(۵-۱۲)-تأثیر خطای اندازه ی موضعی سازی شده برای روش تفاضل متناهی صریح-ضمنی. چپ:مدل مرتون با شرط اولیه ی هموار . راست: مدل مرتون برای اختیار فروش[۲۶].

همان طور که در نمودار بالا مشاهده می شود به محض این که دامنه ی بزرگتر یا مساوی ۳ می شود، خطاهای نقطه ای و یکنواخت کاملاً به یکدیگر نزدیک می شوند و در سطح تقریباً ۵ خطا ثابت به نظر می رسد. شکل (۵-۱۳) آنالیز مشابه ای را برای مدل واریانس گاما (مثال اول) نشان می دهد.

شکل(۵-۱۳)- تأثیر خطای اندازه ی موضعی سازی شده برای روش تفاضل متناهی صریح-ضمنی. مدل های واریانس گاما، مرتون برای اختیار فروش[۲۶].

نمودار (۵-۱۴) نشان می دهد، هنگامی که و به سمت صفر میل می کنند( و بزرگ می شوند)، خطای عددی کاهش می یابد.

شکل(۵-۱۴)-خطای عددی برای اختیار فروش در مدل مرتون. چپ: تأثیر تعداد گام های زمانی ، و . راست: تأثیر تعداد گام های زمانی ، و .[۲۶]

نمودار(۵-۱۵) رفتار خطا را برای دو شرط اولیه ی هموار و ناهموار برای در مقابل زمان نشان می دهد که با افزایش خطا کاهش می یابد.

شکل(۵-۱۵)- کاهش خطا با زمان سررسید در مدل مرتون. چپ: شرط اولیه ی ناهموار(اختیار فروش) . راست: شرط اولیه ی هموار . [۲۶]

در حالتی که با یک مدل متناهی با فعالیت نامتناهی مواجه هستیم، پارامتر برش برای پرش های کوچک نیز روی جواب موٌثر است.

در قضیه ی (۴-۱-۱۴) نشان داده شد که اگر ، خطا به صفر میل می کند اما برای یک (ثابت در نظر گرفته شده) خطای عددی تعریف شده در بالا، وقتی که ، افزایش می یابد. یعنی ثابت در (۴-۲-۲۷) از مرتبه ی است و با افزایش می یابد. این پیشنهاد می کند[۲۶] که یک انتخاب بهینه ی برای یک داده شده، وجود دارد. شکل (۵-۱۶) این پدیده را برای مدل واریانس گاما نمایش می دهد.

شکل(۵-۱۶)-تأثیر برش پرش های کوچک روی خطای عددی در انواع مدل های وارانس گاما برای اختیار فروش.[۲۶]

شکل (۵-۱۷)ارزش اختیار معاملات توأم با مانع را برای مدل مرتون نشان می دهد. نمودار سمت راست ارزش یک اختیار خرید را نمایش می دهد و نمودار سمت چپ ارزش یک اختیار فروش توأم با مانع مضاعف را نشان می دهد. همان طور که مشاهده می شود در نمودار سمت چپ با افزایش تعداد گام های زمانی خطای عددی کاهش می یابد.

شکل(۵-۱۷)- چپ: ارزش اختیار فروش توأم با مانع مضاعف به عنوان تابعی از تعداد گام های زمانی با مانع های . راست:ارزش اختیار خرید در مدل مرتون با مانع . [۲۶]

جدول (۵-۱۸) ارزش چند اختیار معامله و زمان محاسبه ی آن ها (بر حسب ثانیه) را بر اساس روش نشان می دهد.

جدول(۵-۱۸)- مثال هایی برای ارزش گذاری اختیار معامله. ، ، ، و . پارامتر برش طبق شکل (۱۸-۵) انتخاب شده است[۲۶]. 

فصل ششم

نتیجه گیری و پیشنهادات آتی

۶-۱ نتیجه گیری:

خاصیت مارکوف این اجازه را به ما می‌دهد، که ارزش اختیار معاملات اروپایی و توأم بامانع را به صورت جواب های معادلات بیان کنیم .در واقع در این پایان نامه به محاسبه ی ارزش اختیارمعاملات اروپایی و توأم بامانع تحت مدل های دیفیوژن پرشی و مدل های لوی نمایی پرداخته شده است. این کار از طریق حل معادلات توسط یک روش تفاضل متناهی صریح- ضمنی انجام شده است.

برای حل معادله ی ممکن است که ناهمواری شرایط اولیه، غیر موضعی بودن عبارت انتگرالی، تکین بودن انتگرال در صفر و تباهیدگی ضریب دیفیوژن برخی مشکلات را پدید آورند. تحت یک سری فرض ها روی چگالی لوی این مشکلات برطرف شده است.

روش تفاضل متناهی ارائه شده در همه ی فرایندهای لوی قابل دسترس است و نیاز به فرم بسته ی تابع مشخصه ی آن ها ندارد و می توان این روش را برای اختیار معاملات اروپایی و توأم بامانع به کار برد.

دیگر روش های تفاضل متناهی پیشنهاد شده برای [۷و۳۱و۵۱] فاقد بررسی همگرایی، پایداری و سازگاری است اما در روش ارائه شده در این پایان نامه همگرایی، پایداری و سازگاری مورد بررسی قرار گرفته است. جدول (۶-۱) روش های عددی متفاوت را برای مقایسه می کند.

جدول(۶-۱)-روش های عددی برای [۲۴]

۶-۲ پیشنهاداتی برای تحقیقات آتی:

برای پیشنهاد تحقیقات آتی می توان روی سوالات زیر متمرکز شد:

۱) آیا روش ارائه شده در این پایان نامه را می توان برای دیگر انواع اختیارمعاملات(از جمله اختیار معامله ی آمریکایی) به کار برد؟

۲) آیا می توان عبارت انتگرالی در معادله ی را با روش های مونت-کارلو تخمین زد؟

۳) آیا می توان فرایندهای لوی را به حالت کلی تر، مثلاً فرایندهای فلر، توسعه داد؟

مراجع

[۱] اپل باوم، دیوید؛ ترجمه ی: نجومی،حسن؛ جهانی پور روح ا… . فرایندهای لوی: از احتمال تا ریاضیات مالی و گروه های کوانتمی. فرهنگ و اندیشه ی ریاضی، شماره ی ۳۴(بهار ۱۳۸۴).

[۲] الیپرانتیس،ک د؛ برکینشاو، ا؛ ترجمه ی: رضوانی محمدعلی. اصول آنالیز حقیقی. ویرایش سوم. تهران: پوران پژوهش،۱۳۸۶ .

[۳] رابرت، ژارو ؛ پروتر، فیلیپ. تاریخچه ی انتگرال تصادفی و ریاضیات مالی از ۱۸۸۰ تا ۱۹۷۰ . فرهنگ و اندیشه ی ریاضی، شماره ی ۳۶(بهار ۱۳۸۵).

[۴] زرگری، بهناز؛ زمانی، شیوا؛ ظهوری زنگنه، بیژن؛ کنت، راما. استخراج فرمول قیمت گذاری اختیارمعامله در مدل هستون. فرهنگ و اندیشه ی ریاضی، شماره ی ۴۴(بهار ۱۳۸۹).

[۵] هال، جان؛ ترجمه ی: سیاح، سجاد؛ صالح آبادی، علی؛ مبانی مهندسی مالی و مدیریت ریسک. ویرایش دوم. تهران: گروه رایانه تدبیر پرداز، ۱۳۸۴٫

[۶] Amin, K.” Jump-diffusion option valuation in discrete time". J. Finance

۴۸(۱۹۹۳), pp. 1833-1863.

[۷] Andersen, L; Andreasen,J." Jump-diffusion models: Volatility smile fitting and numerical methods for pricing“. Rev. Derivatives Research, 4 (2000), pp. 231–۲۶۲٫

[۸] Applebaum,D. Levy Processes and Stochastic Calculus. 2th ed.Cambridge University Press, 2009.

[۹] Athreya, Krishna, B; Lahiri, Soumendra, N. Measure Theory and Probability Theory. Springer Tests in Statistics. 2006.

[۱۰] Bachelier,L. “Theorie de la Speculation”. Annales Scientifiques de L’ Ecole Normale Superieure. (1900), pp. 21-86.

[۱۱] Bachelier,L. Theorie de la Speculation. Paris: Gauthier-Villars,1900.

[۱۲] Barles,G; Souganidis,P. “Convergence of approximation schemes for fully nonlinear second order equations“. Asymptotic Anal, 4 (1991), pp. 271–۲۸۳٫

[۱۳] Boyarchenko, S; Levendorskii. S. Non-Gaussian Merton-Black- Scholes Theory. World Scientific: River Edge, NJ, 2002.

[۱۴] Bensoussan,A; Lions,J,-L. Contrˆole Impulsionnel et In´equations Quasi-Variationnelles. Dunod, Paris, 1982.

[۱۵] Black, F; Scholes M. “The Pricing of Options andCorporate Liabilities". Journal of Political Economy. 3,1973. pp. 637-654.

[۱۶] Brandimarte,P. Numerical Methods in Finance and Economice:A Matlab-Based Introduction. 2th ed. A John Wiley & Sons. 2006.

[۱۷] Brezeniak, Z ; Zastawniak,T. Basic Stochastic Processes. Kingeston upon Hull. 2000.

[۱۸] Carr, P; Faguet, D. Fast accurate valuation of American options working paper. Cornell University. 1994.

[۱۹] Carr, P; Gernan, H; Madan, D; Yor, M. “The fine structure of as asset returns:

An empirical investigation“. Journal of Business, 75 (2002).

[۲۰] Carr, P; Madan, D.” Option valuation using the fast Fourier transform”. J. Comput.Finance, 2 (1998), pp. 61–۷۳٫

[۲۱] Carr, P ; Wu, L.” The finite moment logstable process and option pricing“. J. Finance, 58(2003), pp. 753–۷۷۸٫

[۲۲] Chung, K, L. A Course in Probability Theory. 3th ed. Academic Press. 2001.

[۲۳] Cinlar,E. Probability and Stochastics. Springer. 2010.

[۲۴] Cont, R ; Tankov,T. Financial Modelling with Jump Processes. Chapman & Hall/CRC,Boca Raton, FL. 2004.

[۲۵] Cont, R ; Tankov,T." Nonparametric calibration of jump-diffusion option pricing models“. J. Comput. Finance, 7 (2004), pp. 1–۴۹٫

[۲۶] Cont, R; Voltchkova, E.” Finite difference methods for option pricing in jump-diffusion and exponential Levy models“. Rapport Interne 513, CMAP, Ecole Polytechnique. 4(2003). pp. 1596-1626.

[۲۷] Cont, R; Voltchkova, E." Integrodifferential equations for option prices in exponential L´evy models“. Finance Stoch. 9 (2005), pp. 299–۳۲۵٫

[۲۸] Crandall, M, G; Ishii, H; Lions, P,-L." User’s guide to viscosity solutions of second order partial differential equations“. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), 27 (1992), pp. 1–۶۷٫

[۲۹] Crandall, M; Lions,P,-L." Two approximations of solutions of Hamilton-Jacobi equations”. Math. Comp. 43 (1984), pp. 1–۱۹٫

[۳۰] Derman, E; Kani, I.” Riding on a Smile”. RISK, 7 (1994), pp. 32-39.

[۳۱] D’Halluin, Y; Forsyth,P, A; Labahn, G." A penalty method for American options with jump diffusion processes“. Numer. Math., 97 (2004), pp. 321–۳۵۲٫

[۳۲] Duffy, D, J. Finite Difference Methods in Financial Engineering: A Partial Differential Equation Approach. A John Wiley & Sons. 2006.

[۳۳] Dupire, В.” Pricing with a smile”. RISK, 7 (1994), pp. 18-20.

[۳۴] Garroni, M, G; Menaldi, J, L. Second Order Elliptic Integro-Differential Problems. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL, 2002.

[۳۵] Harrison, J, M; Pliska,S, R.” Martingals and Stochastic Integrals in the Theory of Contiuous trading“. Stochastic Process. Appl. 11(1981), pp. 215-260.

[۳۶] Hull, J, C. Options, Futures and Other Derivatives. 6^th ed. Prentice Hall Upper Saddle River . 2006.

[۳۷] Ito, K; Mckean, H, P, Jr. Diffusion Processes and Their sample Paths. New York. Springer, 1965.

[۳۸] Korn, R; Korn, E; Kroisandt, G. Monte Carlo Method and Models in Finance and Insurance. Chapman & Hall/CRC, 2010.

[۳۹] Krylov, N." On the rate of convergence of finite difference approximations for Bellman’s equations” St. Petersburg Math. J. 9 (1997), pp. 245–۲۵۶٫

[۴۰] Krylov, N." On the rate of convergence of finite difference approximations for Bellman’s equations with variable coefficients“. Probab. Theory Related Fields, 117 (1997), pp. 1–۱۶٫

[۴۱] Lyuu, Y,-D. Financial Engineering and Computation Principles, Mathematics, Algorithms. National Taiwan University. Cambridge University Press, 2004.

[۴۲] Matache, A,-M; Petersdorff, T, Von; Schwab, C." Fast deterministic pricing of options on L´evy driven assets“. M2AN Math. Model. Numer. Anal. 38 (2004), pp. 37–۷۱٫

[۴۳] Mikosch, T. Elemntray Stochastic Calculus: with Finance in View. World Scientific, 1999.

[۴۴] Nualart, D; Schutens, W. “Chatic and Predictable Representations for Levy Processes“. Stochastic Processes and their Applications 90(2000), pp. 109–۱۲۲٫

[۴۵] Pascucci, A. PDE and Martingale Methods in Option Pricing. B&SS – Bocconi & Springer Series, 2011.

[۴۶] Samuelson, P." Rational Theory of Warrant Pricing“. Industrial Management Review, 6(1965), pp.13-39.

[۴۷] Sato, K. L´evy Processes and Infinitely Divisible Distributions. Cambridge University Press,Cambridge, UK, 1999.

[۴۸] Schoutens, W. Levy Processes in Finance. John Wiley & Sons, 2003

[۴۹] Shereve, S, E. Stochastic Calculus for Finance 2. Springer Finance, 2004.

[۵۰] Tankov, P. “Pricing and Hedging in Exponential Levy Models: Review of Recent Results“. Paris-Princeton Lectures on Mathematical Finance (2010), pp. 319-359

[۵۱] Tavella, D; Randall, C. Pricing Financial Instruments. Wiley, New York, 2000.

[۵۲] Zhang, X." Valuation of American options in a jump-diffusion model ". in Numerical Methods in Finance, Cambridge University Press, Cambridge, UK( 1997) pp. 93–۱۱۴٫

واژه نامه انگلیسی- فارسی