مقدمه
در این فصل دو فضازمان مورد بررسی قرار داده می شود. گرانش گوس- بونه در حضور الکترودینامیک غیرخطی نمایی و گرانش گوس-بونه در حضور الکترودینامیک غیرخطی لگاریتمی. بهاین صورت که خصوصیات نظریه الکترودینامیک غیرخطی را همانطور که در فصل دوم دیدیم در حضور متریک فضای چرخندهی آنتیدوسیته در نظر گرفته و مورد بررسی قرار داده می شود و سپس جوابهای لایهی سیاه گرانش گوس- بونه در حضور این دو کلاس از الکترودینامیک غیرخطی بهدست آورده و به بحث در مورد خصوصیات جوابها پرداخته می شود. در نهایت به بررسی کمیتهای پایا پرداخته و قانون اول ترمودینامیک را برای گرانش گوس- بونه در حضور این دو کلاس از الکترودینامیک غیرخطی بررسی میکنیم.
(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت nefo.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))
۴-۱ معادلات میدان
با توجه به آنچه تاکنون در فصلهای قبل گفته شد، به دنبال یافتن جوابها و بررسی ترمودینامیک گرانش گوس- بونه در حضور کلاس جدیدی از الکترودینامیک غیرخطی میباشیم که کنش آن به این صورت میباشد:
(۴-۱-۱)
که در این رابطه ، کنش گرانش و انتگرال دوم کنش مرزی در گرانش گوس- بونه میباشد که بهمنظور خوش تعریف شدن معادلات وردش داده شده به کنش اصلی اضافه کردهایم و لاگرانژی ماده و میدان میباشد:
(۴-۱-۲)
در این رابطه، ثابت کیهانشناسی میباشد و مقدار آن برای فضای آنتیدوسیته میباشد و همچنین و در معادلات (۳-۵-۳) و (۳-۵-۴) معرفی شده اند.
با در نظر گرفتن گرانش گوس- بونه در حضور الکترودینامیک غیرخطی و با تکیه بر اصل وردش، کنش (۴-۱-۱) را نسبت به تانسور متریک وردش میدهیم. معادلات میدان به صورت زیر حاصل می شود:
(۴-۱-۳)
که در رابطه فوق تانسور انرژی- تکانه به شکل:
(۴-۱-۴)
میباشد که در این رابطه به صورت زیر تعریف می شود:
(۴-۱-۵)
روابط فوق معرف معادلات میدان گرانش گوس- بونه در حضور یک میدان کلی الکترومغناطیسی میباشد. در ادامه با معرفی کلاسهای جدیدی از لاگرانژین الکترودینامیک غیرخطی، در جستوجوی جوابهای سیاهچالهای خواهیم بود.
۴-۲ گرانش گوس- بونه در حضور میدان الکترومغناطیس غیرخطی نمایی
لاگرانژی الکترودینامیک غیرخطی نمایی همانطور که در فصل دوم معرفی شد به صورت زیر در نظر گرفته می شود:
(۴-۲-۱) ENEF
در ادامه این لاگرانژین را در کنش گرانشی، (۴-۱-۱)، به عنوان لاگرانژی میدان مادی در نظر میگیریم. اکنون در پی مطالعه تاثیرات میدان غیرخطی بر هندسهی فضازمان هستیم. متریک فضای چرخندهی باردار مجانبا آنتیدوسیتهی (n+1) بعدی که ابرسطوح (r,t) ثابت آن تخت است، به صورت زیر معرفی می شود:
(۴-۲-۲)
که در آن و متریک اقلیدسی(n-k-1) بعدی میباشد. حداکثر تعداد پارامترهای دوران k در فضازمان (n+1) بعدی برابر با میباشد که نشاندهنده جزصحیح میباشد.
با توجه به متریک فوق، پتانسیل پیمانهای مناسب را اینگونه فرض میکنیم:
(۴-۲-۳) (روی جمع بسته نمی شود)
با در نظر گرفتن این پتانسیل برداری و در نظر گرفتن لاگرانژی نمایی، (۴-۱-۳)، با حل معادله (۲-۵-۴) معادلات میدان بر حسب اینگونه محاسبه می شود:
(۴-۲-۴)
که در این معادله پریم یگانه و پریم دو گانه بهترتیب مشتق مرتبهی اول و دوم نسبت به میباشد.
با حل معادله (۴-۲-۴) بر حسب داریم:
(۴-۲-۵)
که در آن ثابت بار الکتریکی و همانطور که در فصل دوم تعریف کردیم میباشد که است.
با در نظر گرفتن معادلات میدان گرانشی (۴-۱-۳) به همراه متریک معرفی شده (۴-۲-۲)، گرانش گوس- بونه را در حضور الکترودینامیک غیرخطی نمایی، در ۵- بعد در نظر گرفته و به معادلات دیفرانسیلی میرسیم که سادهترین آن مؤلفۀ و به صورت زیر بهدست می آید:
(۴-۲-۶)
در معادله فوق پریم، معرف مشتق نسبت به مختصهی است، ، تابع متریک در ۵- بعد میباشد و تعریف می شود. اگر رابطه (۴-۲-۶) را بر حسب تابع متریک، ، حل کنیم داریم، میتوان نوشت:
(۴-۲-۷)
برای اینکه فرم کلی تابع متریک در (n+1)بعد بهدست آوریم، تابع متریک را به همین صورت، (۴-۲-۷)، برای ابعاد ۶، ۷، ۸ و…، نیز محاسبه کرده و فرم کلی معادله دیفرانسیل برای مولفهی به صورت زیر بهدست میآوریم:
(۴-۲-۸)
اگر معادله (۴-۲-۸) را بر حسب حل کنیم داریم:
(۴-۲-۹)
که در رابطه فوق میباشد. همچنین عبارت است از:
(۴-۲-۱۰)
باید به این نکته توجه داشت که اگرچه محاسبهی تابع از سایر مؤلفههای معادله دیفرانسیلی بهدست آمده کار پیچیدهای است اما بهسادگی میتوان دید که جوابهای حاصل شده برای یعنی (۴-۲-۹) در همگی مؤلفههای معادله (۴-۱-۳) صادق است (حاصل انتگرالهای بهکار رفته در (۴-۲-۱۰) در پیوست آمده است).
در صورتی که تابع متریک (n+1)- بعد را به طور همزمان برای های کوچک و های بزرگ بسط دهیم، برای میتوان نوشت:
(۴-۲-۱۱)
در معادله فوق که منطبق بر تابع متریک گرانش اینشتین- ماکسول در ۱+۴- بعد میباشد و جمله دوم و سوم بهترتیب اولین تصحیح میدان غیرخطی الکترومغناطیسی و گرانش گوس- بونه میباشد. لازم به ذکر است که جمله چهارم تصحیحِ جفت شدگی گرانش با میدان الکترومغناطیسی را نشان میدهد.
اگر تابع را برای های بزرگ بسط دهیم داریم:
(۴-۲-۱۲)
و اگر (۴-۲-۱۲) را برای های بز
رگ بسط دهیم به معادله (۴-۲-۱۱) میرسیم. از مقایسه این دو رابطه در مییابیم که راه حل فوق برای منفی مجانبا آنتیدوسیته است و ثابت کیهانشناسی موثر
(۴-۲-۱۳)
خواهد بود که در حد به ثابت کیهانشناسی معمول میل خواهد کرد.
۴-۲-۱ خصوصیات فضا زمان
با بهره گرفتن از متریک (۴-۲-۲) اسکالر کریشمان را میتوان به این صورت محاسبه کرد:
[چهارشنبه 1400-09-24] [ 10:17:00 ب.ظ ]
|