مقدمه
در این فصل دو فضازمان مورد بررسی قرار داده می­ شود. گرانش گوس- بونه در حضور الکترودینامیک غیرخطی نمایی و گرانش گوس-بونه در حضور الکترودینامیک غیرخطی لگاریتمی. به­این صورت که خصوصیات نظریه­ الکترودینامیک غیرخطی را همان­طور که در فصل دوم دیدیم در حضور متریک فضای چرخنده­ی آنتی­دوسیته در نظر گرفته و مورد بررسی قرار داده می­ شود و سپس جواب­های لایه­ی سیاه گرانش گوس- بونه در حضور این دو کلاس از الکترودینامیک غیرخطی به­دست آورده و به بحث در مورد خصوصیات جواب­ها پرداخته می­ شود. در نهایت به بررسی کمیت­های پایا پرداخته و قانون اول ترمودینامیک را برای گرانش گوس- بونه در حضور این دو کلاس از الکترودینامیک غیرخطی بررسی می­کنیم.
(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت nefo.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

۴-۱ معادلات میدان
با توجه به آنچه تاکنون در فصل­های قبل گفته شد، به دنبال یافتن جواب­ها و بررسی ترمودینامیک گرانش گوس- بونه در حضور کلاس جدیدی از الکترودینامیک غیرخطی می­باشیم که کنش آن به این صورت می­باشد:
(۴-۱-۱)
که در این رابطه  ، کنش گرانش و انتگرال دوم کنش مرزی در گرانش گوس- بونه می­باشد که به­منظور خوش تعریف شدن معادلات وردش داده شده به کنش اصلی اضافه کرده­ایم و  لاگرانژی ماده و میدان می­باشد:
(۴-۱-۲)
در این رابطه،  ثابت کیهان­شناسی می­باشد و مقدار آن برای فضای آنتی­دوسیته  می­باشد و همچنین  و  در معادلات (۳-۵-۳) و (۳-۵-۴) معرفی شده ­اند.
با در نظر گرفتن گرانش گوس- بونه در حضور الکترودینامیک غیرخطی و با تکیه بر اصل وردش، کنش (۴-۱-۱) را نسبت به تانسور متریک  وردش می­دهیم. معادلات میدان به صورت زیر حاصل می­ شود:
(۴-۱-۳)
که در رابطه­ فوق  تانسور انرژی- تکانه به شکل:
(۴-۱-۴)
می­باشد که در این رابطه­  به صورت زیر تعریف می­ شود:
(۴-۱-۵)
روابط فوق معرف معادلات میدان گرانش گوس- بونه در حضور یک میدان کلی الکترومغناطیسی می­باشد. در ادامه با معرفی کلاس­های جدیدی از لاگرانژین الکترودینامیک غیرخطی، در جست­وجوی جواب­های سیاه­چاله­ای خواهیم بود.
۴-۲ گرانش گوس- بونه در حضور میدان الکترومغناطیس غیرخطی نمایی
لاگرانژی الکترودینامیک غیرخطی نمایی همانطور که در فصل دوم معرفی شد به­ صورت زیر در نظر گرفته می­ شود:
(۴-۲-۱) ENEF
در ادامه این لاگرانژین را در کنش گرانشی، (۴-۱-۱)، به عنوان لاگرانژی میدان مادی در نظر می­گیریم. اکنون در پی مطالعه­ تاثیرات میدان غیرخطی بر هندسه­ی فضازمان هستیم. متریک فضای چرخنده­ی باردار مجانبا آنتی­دوسیته­ی (n+1) بعدی که ابرسطوح (r,t) ثابت آن تخت است، به صورت زیر معرفی می­ شود:
(۴-۲-۲)
که در آن  و  متریک اقلیدسی(n-k-1) بعدی می­باشد. حداکثر تعداد پارامترهای دوران k در فضازمان (n+1) بعدی برابر با  می­باشد که  نشان­دهنده جزصحیح  می­باشد.
با توجه به متریک فوق، پتانسیل پیمانه­ای مناسب را این­گونه فرض می­کنیم:
(۴-۲-۳) (روی  جمع بسته نمی­ شود)
با در نظر گرفتن این پتانسیل برداری و در نظر گرفتن لاگرانژی نمایی، (۴-۱-۳)، با حل معادله­ (۲-۵-۴) معادلات میدان بر حسب  این­گونه محاسبه می­ شود:
(۴-۲-۴)
که در این معادله پریم یگانه و پریم دو گانه به­ترتیب مشتق مرتبه­ی اول و دوم نسبت به  می­باشد.
با حل معادله­ (۴-۲-۴) بر حسب  داریم:
(۴-۲-۵)
که در آن  ثابت بار الکتریکی و همان­طور که در فصل دوم تعریف کردیم  می­باشد که  است.
با در نظر گرفتن معادلات میدان گرانشی (۴-۱-۳) به همراه متریک معرفی شده (۴-۲-۲)، گرانش گوس- بونه را در حضور الکترودینامیک غیرخطی نمایی، در ۵- بعد  در نظر گرفته و به معادلات دیفرانسیلی می‌رسیم که ساده­ترین آن مؤلفۀ  و به صورت زیر به­دست می ­آید:
(۴-۲-۶)
در معادله­ فوق پریم، معرف مشتق نسبت به مختصه­ی  است،  ، تابع متریک در ۵- بعد می­باشد و  تعریف می­ شود. اگر رابطه­ (۴-۲-۶) را بر حسب تابع متریک،  ، حل کنیم داریم، می­توان نوشت:
(۴-۲-۷)
برای این­که فرم کلی تابع متریک در (n+1)بعد به­دست آوریم، تابع متریک را به همین صورت، (۴-۲-۷)، برای ابعاد ۶، ۷، ۸ و…، نیز محاسبه کرده و فرم کلی معادله­ دیفرانسیل برای مولفه­ی  به­ صورت زیر به­دست می­آوریم:
(۴-۲-۸)
اگر معادله (۴-۲-۸) را بر حسب  حل کنیم داریم:
(۴-۲-۹)
که در رابطه­ فوق  می­باشد. همچنین  عبارت است از:
(۴-۲-۱۰)
باید به این نکته توجه داشت که اگرچه محاسبه­ی تابع  از سایر مؤلفه‌های معادله­ دیفرانسیلی به­دست آمده کار پیچیده­ای است اما به­سادگی می­توان دید که جواب­های حاصل شده برای  یعنی (۴-۲-۹) در همگی مؤلفه‌های معادله (۴-۱-۳) صادق است (حاصل انتگرال­های به­کار رفته در (۴-۲-۱۰) در پیوست آمده است).
در صورتی که تابع متریک (n+1)- بعد را به­ طور همزمان برای  های کوچک و  های بزرگ بسط دهیم، برای  می­توان نوشت:
(۴-۲-۱۱)
در معادله­ فوق  که منطبق بر تابع متریک گرانش اینشتین- ماکسول در ۱+۴- بعد می­باشد و جمله­ دوم و سوم به­ترتیب اولین تصحیح میدان غیرخطی الکترومغناطیسی و گرانش گوس- بونه می­باشد. لازم به ذکر است که جمله­ چهارم تصحیحِ جفت شدگی گرانش با میدان الکترومغناطیسی را نشان می­دهد.
اگر تابع  را برای  های بزرگ بسط دهیم داریم:
(۴-۲-۱۲)
و اگر (۴-۲-۱۲) را برای  های بز
رگ بسط دهیم به معادله­ (۴-۲-۱۱) می­رسیم. از مقایسه­ این دو رابطه در می­یابیم که راه حل فوق برای  منفی مجانبا آنتی­دوسیته است و ثابت کیهان­شناسی موثر
(۴-۲-۱۳)
خواهد بود که در حد  به ثابت کیهان­شناسی معمول  میل خواهد کرد.
۴-۲-۱ خصوصیات فضا زمان
با بهره گرفتن از متریک (۴-۲-۲) اسکالر کریشمان را می­توان به این صورت محاسبه کرد: