در مدلهای GARCH متقارن، واریانس­ها (تغییرپذیری­ها) برای شوک­های مثبت و منفی یکسان هستند. به عنوان مثال اثر شوک­های مثبت و منفی که به بازدهی سهام وارد­می­ شود به صورت متقارن در نظر گرفته می­ شود. اما هیچ دلیلی وجود ندارد که اثرات این شوک­ها متقارن باشند به همین منظور مدلهای GARCH به گونه ای توسعه داده شده ­اند تا بتوانند اثرات شوک­های مثبت و منفی را به صورت نامتقارن در نظر بگیرند. این مدلها توسط گلوستن^[۸۲]، جگنزان^[۸۳] و رانکل^[۸۴](۱۹۹۴) معرفی شده ­اند. در اینجا دو مدل GJR و گارچ نمایی یا EGARCH را که توسط نلسون^[۸۵](۱۹۹۱) ارائه شده را به اختصار معرفی می کنیم:

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

۱- مدل GJR : این مدل ساده­ترین نوع مدل GARCH نامتقارن است و به صورت زیر­فرمول بندی می شود:
فرمول (۳-۶):
اگر  باشد
در غیر اینصورت

در این مدل اگر  معنی دار نباشد بدان معناست که اثر شوک­ها بر تغییرپذیری کاملاً متقارن است.
۲- مدل TARCH (ARCH آستانه ای)
این مدل به دنبال تبیین اثرات وقایعی است که در گذشته اتفاق افتاده، ولی اثر آنها در زمان فعلی ظاهر می­ شود و ممکن است نامتقارن باشد. این وقایع را در بازار مالی می­توان به عنوان اخبار خوب یا بد تصور کرد. این مدل در حقیقت فرم عمومی مدل GJR است و به صورت زیر فرمول بندی می شود:
فرمول (۳-۷):
+

باشد  اگر
باشد  اگر
در این مدل  بیانگر وجود اخبار بد در زمان  می­باشد که در این صورت  است. بنابراین اخبار خوب و بد به ترتیب دارای ضرایب  می باشند. اگر  باشد اخبار بد تغییرپذیری را افزایش می­دهد. همچنین اگر  معنی دار نباشد مدل متقارن خواهد بود، یعنی اثر اخبار خوب و بد یا شوک های مثبت و منفی یکسان است.
مدل EGARCH :
مدل EGARCH یا GARCH نمایی توسط نلسون (۱۹۹۱) پیشنهاد گردید. این مدل روش دیگری برای فرمول بندی واریانس شرطی است که عبارتست از:

فرمول (۳-۸):
این مدل داری چند مزیت است:
از آنجایی که متغیر وابسته  به فرم لگاریتمی است، لذا ضرایب متغیرهای سمت راست می ­تواند مثبت یا منفی باشد.
در این مدل اثر شوک­های نامتقارن از طریق ضریب  در نظر گرفته می­ شود.
مدل ARCH-M :
این مدل توسط انگل^[۸۶]، لیلین^[۸۷] و رابینز^[۸۸] (۱۹۸۷)مطرح شد و اغلب در جایی که بازدهی به ریسک آن مرتبط است کاربرد دارد. در این مدل میانگین شرطی تابع ساده­ای از واریانس شرطی است.
مدل PGARCH :
این مدل توسط دینگ^[۸۹]، گرنجر^[۹۰] و انگل^[۹۱](۱۹۹۳) مطرح شد و به صورت زیر می­باشد:
فرمول(۳-۹):
در این مدل با متغیر مقادیر  می­توان به انواع مختلف خانواده ARCH رسید.
مدل CAPM :
سرمایه ­گذاری در دارایی­ های مختلف بر اساس نرخ بازده آنها صورت می­گیرد. اگر نرخ بازده انتظاری دارایی های j,i به ترتیب برابر با  باشد، آنگاه دارایی i در صورتی انتخاب می­ شود که  باشد. از طرف دیگر، در کنار همه دارایی­ های ریسکی، یک دارایی بدون ریسک وجود دارد که حداقل بازدهی را دارد. این دارایی را می­توان همان سپرده­های کوتاه مدت بانکی در نظر گرفت که نرخ بازده بدون ریسک آن برابر با  است. تفاوت بازده انتظاری هر دارایی از بازده ریسک را نرخ بازده مازاد می­گویند که برابر با  است. حال شرط انتخاب دارایی i این است که  باشد.
این بحث مربوط به شرایطی است که ریسک (نوسان بازدهی) همه دارایی­ ها یکسان است. برای لحاظ نمودن ریسک از معیاری به نام بازده بر ریسک استفاده می­کنیم که برابر با  می­باشد.  انحراف معیار بازدهی دارایی i می­باشد. عبارت  را قیمت ریسک می­گویند. بدین معنا که ریسک سپرده­بانکی برابر با صفر  و بازده آن برابر با  است. حال اگر در دارایی i سرمایه گذاری شود، ریسک از صفر به  افزایش و بازدهی نیز به اندازه  افزایش می­یابد. این بحث عمدتاً در بازار سهام به کار می­رود که می­توان آن را برای مقایسه دو سهم j,i به کار می­رود. اما یک بحث کلی دیگر نیز مطرح می­ شود که طبق آن می­توان بازده انتظاری هر سهم را بازده بازار (شاخص کل سهام) مقایسه نمود. بدین منظور اگر برای سهم j ام رابطه  برقرار باشد، آنگاه سهم i بهتر از متوسط بازار بوده است.  به ترتیب بازده بازار و ریسک بازار می باشند. در تعادل، نامساوی فوق تبدیل به تساوی می­ شود و هر سهم به سمت بازار گرایش خواهد داشت که در این صورت آن را به صورت زیر می­نویسیم:
(۱)
با ضرب طرفین در  ، آن را بصورت زیر بازنویسی می­کنیم:
(۲)
بیانگر ریسک نسبی سهام i در مقایسه با ریسک بازار می­باشد.
از طرف دیگر، رابطه بین بازده مازاد سهام i و بازده مازاد بازار را به صورت زیر می­نویسند:
(۳)
سمت چپ بازده مازاد سهام i را نشان می­دهد. سمت راست نیز برابر با ضریبی از بازده مازاد بازار است. ضریب  بیانگر معیاری از ریسک سهام i در مقایسه با نوسانات بازار است که معروف به بتای سهام i می باشد. اگر  باشد، آنگاه ریسک سهام i با ریسک بازار برابر است و لذا در تعادل بایستی بازده سهام i با بازده بازار برابر باشد اگر  بزرگتر (کوچکتر) از ۱ باشد، بدان معنا است که ریسک سهام i بیشتر (کمتر) از ریسک بازار است و لذا در تعادل بایستی بازده آن از بازده بازار بیشتر (کمتر) باشد. بنابراین برای هر سهمی که  باشد، بازده آن از بازده بازار بیشتر است و با گذشت زمان، بازدهی آن به سمت بازده بازار کاهش خواهد یافت و برعکس برای سهامی که  باشد. برای تبدیل معادله فوق به یک معادله رگرسیون، جزء خطای تصادفی را به آن اضافه می­کنیم و آن را برای زمان t به صورت زیر می­نویسیم:
(۴)
مدل فوق معروف به مدل قیمت­ گذاری دارایی سرمایه ای (CAPM) است. این مدل برای توضیح بازدهی یک سهم (دارایی) فقط یک عامل (بازده بازار) را در نظر می­گیرد و به همین دلیل آن را مدل یک عاملی یا تک شاخصی می­گویند. بدیهی است که برای توضیح بازدهی هر دارایی می توان یک مدل چند عاملی را تعریف نمود.
اگر معادله (۴) را روی t جمع زده و بر n تقسیم کنیم، معادله (۳) به دست خواهد آمد.  معروف به بتای سهام i ام است که بیانگر ریسک آن نسبت به ریسک بازار می­باشد. اگر  برابر با ۱ باشد بدان معنا است که سهام i متناسب با بازار حرکت کرده است. از آنجا که ممکن است عوامل دیگری نیز وجود داشته باشد که روی بازده سهام i اثر بگذارد، لذا یک عرض از مبدأ نیز بدان اضافه می کنیم:
(۵)
بنابراین اگر بازده مازاد سهام i متناسب با بازده بازار حرکت کند بایستی  باشد. در این صورت گفته می شود که سهام i بازده غیرعادی نداشته است. اگر  باشد. آنگاه  خواهد بود. این نشان می­دهد که سهام i علاوه بر اینکه بازده مازاد بازار را که بر حسب ریسک تعدیل شده است را پوشش داده است، دارای بازده غیرعادی نیز بوده است. بازده غیرعادی یعنی اینکه بازده مازاد سهام موردنظر بیش از  باشد. از طرف دیگر این بحث را می­توان برای هر دارایی به کار برد. بدین صورت که بازده هر دارایی را با سطح عمومی قیمتها مرتبط کنیم. بدین معنا که آیا قیمت یک دارایی در مقایسه با سطح عمومی قیمتها چگونه حرکت کرده است. در این حالت می­توان مدل زیر را معرفی نمود:
(۶)
نرخ رشد سطح عمومی قیمتها (تورم) را نشان می­دهد. در اینجا،  معروف به بتای تورم است. اگر بتا برابر و یا بزرگتر از ۱ باشد، نشان می­دهد که به ازای یک افزایش معین در تورم، بازده دارایی i با سرعت بیشتری رشد کرده است و توانسته است تغییرات تورم را به طور کامل پوشش دهد.
یک حالت خاص را در نظر بگیرید که  و  باشد. در این صورت،  خواهد بود. این وضعیت بیانگر آن است که بازده دارایی موردنظر متناسب با تورم بوده است. اما اگر  باشد، آنگاه  است که  بیانگر بازده غیر عادی است. یعنی بازده دارایی i ام به طور متوسط با اندازه  بیشتر از تورم بوده است. بنابراین  و  نشان دهنده وضعیت پوشش تورم توسط دارایی مورد نظر می­باشد.
۳-۵-مدل تحقیق
در این تحقیق، در ابتدا قیمت سه دارایی سکه بهار آزادی طرح قدیم، دلار و شاخص قیمت و بازدهی نقدی (TEDPIX) که برآیند قیمتی و بازده نقدی سهام بورس تهران را نشان داده و می ­تواند بیانگر بازده کل­سرمایه گذاری بر روی سهام در طول یک دوره معین باشد، از منابع آماری همچون بانک مرکزی و سازمان بورس اوراق بهادار جمع­آوری شده و لگاریتم نرخ رشد آنان محاسبه شده و به عنوان بازدهی دارایی­ های ذکر شده در نظر گرفته می شود.  در مرحله بعد مهمترین عوامل تأثیرگذاری بر قیمت این سه دارایی از قبیل قیمت نفت، نرخ سود سپرده­های بانکی، نرخ تورم به عنوان متغیر مستقل در یک معادله رگرسیونی که متغیر وابسته آن قیمت این دارایی­ ها است داوری شود و معادله میانگین شرطی به شکل زیر برای هر سه دارایی برآورد می­گردد:
فرمول(۳-۱۰):
در رابطه بالا  بازدهی سه دارایی طلا، ارز و سهام بوده و INF بیانگر تورم و PDEPOSIT بیانگر سود سپرده های بانکی و poil قیمت نفت هستند. پس در این مدلها وجود اثرات ARCH (ناهمسانی واریانس شرطی) آزمون شده و در صورت وجود این اثرات، معادله مناسب از خانواده ARCH انتخاب خواهد شد و واریانس شرطی و انحراف معیار شرطی بدست آمده از آن به عنوان ریسک دارایی لحاظ می­گردد.